Завдання № 45. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Які з точок належать колу із центром $Q(2;-1)$, радіус якого дорівнює $5$:

1) $A(3;-8)$;

2) $B(5;-5)$;

3) $C(0;4)$;

4) $D(6;-4)$?

Покроковий розв’язок:

Рівняння кола із центром у точці $Q(x_0;y_0)$ і радіусом $R$ має вигляд:
$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$

Підставимо координати центра $Q(2;-1)$ та радіус $R=5$:
$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=5^2$
$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$

Точка належить колу тоді й лише тоді, коли її координати задовольняють рівняння кола (тобто відстань від цієї точки до центра $Q$ дорівнює радіусу кола: $d=R=5$).

Перевіримо кожну з наданих точок:

1. Точка $A(3;-8)$:
Підставимо координати $x=3$ та $y=-8$ у ліву частину рівняння:
$(3-2{)}^2+(-8+1{)}^2=1^2+(-7{)}^2=1+49=50$
Оскільки $50\ne 25$ (відстань $QA=\sqrt{50}\ne 5$), точка $A(3;-8)$ не належить колу.

2. Точка $B(5;-5)$:
Підставимо координати $x=5$ та $y=-5$ у ліву частину рівняння:
$(5-2{)}^2+(-5+1{)}^2=3^2+(-4{)}^2=9+16=25$
Оскільки $25=25$ (відстань $QB=\sqrt{25}=5$), точка $B(5;-5)$ належить колу.

3. Точка $C(0;4)$:
Підставимо координати $x=0$ та $y=4$ у ліву частину рівняння:
$(0-2{)}^2+(4+1{)}^2=(-2{)}^2+5^2=4+25=29$
Оскільки $29\ne 25$ (відстань $QC=\sqrt{29}\ne 5$), точка $C(0;4)$ не належить колу.

4. Точка $D(6;-4)$:
Підставимо координати $x=6$ та $y=-4$ у ліву частину рівняння:
$(6-2{)}^2+(-4+1{)}^2=4^2+(-3{)}^2=16+9=25$
Оскільки $25=25$ (відстань $QD=\sqrt{25}=5$), точка $D(6;-4)$ належить колу.

Відповідь:
Колу належать точки $B(5;-5)$ та $D(6;-4)$ (пункти 2 та 4).