Завдання № 44. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У трикутнику $ABC$ через вершину $A$ проведено пряму, що перетинає сторону $BC$ у точці $D$, причому $\frac{BD}{BC}=\alpha$ ($\alpha <1$). Через точку $D$ проведено пряму, паралельну стороні $AB$, яка перетинає сторону $AC$ у точці $E$. Обчисліть відношення площі трикутника $ABD$ до площі трикутника $ECD$.

Покроковий розв’язок:

1. Виразимо площу трикутника $ABD$ через площу трикутника $ABC$

Трикутники $ABD$ та $ABC$ мають спільну висоту, проведену з вершини $A$ до прямої $BC$.
Площі трикутників зі спільною висотою відносяться як довжини їхніх основ:

2. Знайдемо відношення площі трикутника $ECD$ до площі трикутника $ABC$

Оскільки пряма $DE$ паралельна стороні $AB$ ($DE\parallel AB$):

• $\angle C$ — спільний для трикутників $ECD$ та $ABC$;
• $\angle CDE=\angle CBA$ як відповідні кути при паралельних прямих $DE$ та $AB$ і січній $BC$.

Отже, за двома кутами трикутники подібні: $△ECD\sim △ABC$.

Знайдемо довжину відрізка $DC$:

Коефіцієнт подібності $k$ трикутника $ECD$ до трикутника $ABC$ дорівнює:

Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності:

3. Обчислимо шукане відношення площ

Знайдемо відношення площі трикутника $ABD$ до площі трикутника $ECD$:

Відповідь:
$\frac{\alpha }{(1-\alpha {)}^2}$