Завдання № 44. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

У трикутнику $A B C$ сторони відносяться як $A B : B C : C A = 3 : 5 : 6$ . Трикутник $A B C$ подібний до трикутника $A_{1} B_{1} C_{1}$ ( $△ A B C \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ ).

Знайдіть сторони трикутника $A_{1} B_{1} C_{1}$ , якщо:

1) його менша сторона дорівнює $6 см$ ;

2) його більша сторона на $7 см$ більша за середню;

3) його периметр дорівнює $70 см$ .

Заповніть таблиці відповідними буквами, щоб дізнатися ім’я та прізвище першої жінки – Героя України, якій це звання присвоїли посмертно.

Креслення до завдання 44

Покроковий розв’язок:

Властивість відповідних сторін подібних трикутників

За означенням подібних трикутників, відповідні сторони пропорційні:
$\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{B _{1} C _{1}}{B C} = \frac{C _{1} A _{1}}{C A} = k$

Оскільки в трикутнику $A B C$ сторони відносяться як $A B : B C : C A = 3 : 5 : 6$ , у подібному трикутнику $A_{1} B_{1} C_{1}$ сторони мають таке саме відношення:
$A_{1} B_{1} : B_{1} C_{1} : C_{1} A_{1} = 3 : 5 : 6$

Звідси:

$A_{1} B_{1}$ — найменша сторона (відповідає $3$ частинам);
$B_{1} C_{1}$ — середня за довжиною сторона (відповідає $5$ частинам);
$C_{1} A_{1}$ — найбільша сторона (відповідає $6$ частинам).

Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює $k$ ( $k > 0$ ). Тоді:
$A_{1} B_{1} = 3 k см, B_{1} C_{1} = 5 k см, C_{1} A_{1} = 6 k см$

1. Менша сторона дорівнює $6 см$

Найменшою стороною є $A_{1} B_{1}$ :
$A_{1} B_{1} = 3 k = 6 см ⟹ k = \frac{6}{3} = 2 см$

Обчислимо інші сторони:
$B_{1} C_{1} = 5 \cdot 2 = 10 см$
$C_{1} A_{1} = 6 \cdot 2 = 12 см$

Згідно з таблицею умов отримуємо відповідність:

$A_{1} B_{1} = 6 см \to буква « Н »$ ;
$B_{1} C_{1} = 10 см \to буква « С »$ ;
$C_{1} A_{1} = 12 см \to буква « Е »$ .

2. Більша сторона на $7 см$ більша за середню

Більша сторона — це $C_{1} A_{1} = 6 k$ , середня — $B_{1} C_{1} = 5 k$ . Складемо рівняння:
$C_{1} A_{1} - B_{1} C_{1} = 7$
$6 k - 5 k = 7$
$k = 7 см$

Знайдемо сторони трикутника:
$A_{1} B_{1} = 3 \cdot 7 = 21 см$
$B_{1} C_{1} = 5 \cdot 7 = 35 см$
$C_{1} A_{1} = 6 \cdot 7 = 42 см$

Згідно з таблицею умов отримуємо відповідність:

$A_{1} B_{1} = 21 см \to буква « У »$ ;
$B_{1} C_{1} = 35 см \to буква « І »$ ;
$C_{1} A_{1} = 42 см \to буква « О »$ .

3. Периметр дорівнює $70 см$

Периметр трикутника дорівнює сумі всіх його сторін:
$P_{A_{1} B_{1} C_{1}} = A_{1} B_{1} + B_{1} C_{1} + C_{1} A_{1} = 3 k + 5 k + 6 k = 14 k$

Складемо рівняння:
$14 k = 70 ⟹ k = \frac{70}{14} = 5 см$

Знайдемо сторони трикутника:
$A_{1} B_{1} = 3 \cdot 5 = 15 см$
$B_{1} C_{1} = 5 \cdot 5 = 25 см$
$C_{1} A_{1} = 6 \cdot 5 = 30 см$

Згідно з таблицею умов отримуємо відповідність:

$A_{1} B_{1} = 15 см \to буква « Р »$ ;
$B_{1} C_{1} = 25 см \to буква « В »$ ;
$C_{1} A_{1} = 30 см \to буква « А »$ .

4. Розшифрування імені та прізвища

Підставимо отримані значення довжин сторін у таблиці:

Перша таблиця (ім’я):

$35 см \to І$
$6 см \to Н$
$6 см \to Н$
$30 см \to А$

Утворюється слово: ІННА.

Друга таблиця (прізвище):

$Д$
$12 см \to Е$
$15 см \to Р$
$21 см \to У$
$10 см \to С$
$42 см \to О$
$25 см \to В$
$30 см \to А$

Утворюється слово: ДЕРУСОВА.

Історична довідка: Інна Дерусова — бойовий медик, сержант Збройних Сил України, яка під ворожим обстрілом рятувала поранених українських бійців під час оборони міста Охтирка. Вона стала першою жінкою, якій звання Героя України присвоєно посмертно.

Відповідь:

1) $A_{1} B_{1} = 6 см$ , $B_{1} C_{1} = 10 см$ , $C_{1} A_{1} = 12 см$ ;

2) $A_{1} B_{1} = 21 см$ , $B_{1} C_{1} = 35 см$ , $C_{1} A_{1} = 42 см$ ;

3) $A_{1} B_{1} = 15 см$ , $B_{1} C_{1} = 25 см$ , $C_{1} A_{1} = 30 см$ .
Зашифроване ім’я та прізвище: Інна Дерусова.

Завдання № 44. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку