Завдання № 43. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

(Теорема Птолемея). Доведіть, що для будь-якого вписаного в коло чотирикутника $ABCD$ добуток діагоналей дорівнює сумі добутків протилежних сторін:
$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$

Покроковий розв’язок:

1. Додаткова побудова

Нехай $ABCD$ — довільний опуклий чотирикутник, вписаний у коло. Проведемо діагоналі $AC$ та $BD$.

На діагоналі $AC$ виберемо таку точку $E$, що:
$\angle CBE=\angle ABD$

2. Доведення подібності першої пари трикутників

Розглянемо трикутники $△ABD$ та $△EBC$:

1) $\angle ABD=\angle CBE$ — за виконаною побудовою.

2) $\angle BDA=\angle BCA$ (тобто $\angle BDA=\angle BCE$) — як вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу $AB$.

Отже, за першою ознакою подібності трикутників (за двома рівними кутами):
$△ABD\sim △EBC$

З подібності трикутників випливає пропорційність відповідних сторін:
$\frac{BC}{BD}=\frac{EC}{AD}$

Перемноживши навхрест за основною властивістю пропорції, отримуємо:
$AD\cdot BC=EC\cdot BD(1)$

3. Доведення подібності другої пари трикутників

Розглянемо кути $\angle ABE$ та $\angle DBC$:
Оскільки $\angle CBE=\angle ABD$, додамо до обох частин цієї рівності градусну міру спільного кута $\angle EBD$:
$\angle ABD+\angle EBD=\angle CBE+\angle EBD⟹\angle ABE=\angle DBC$

Тепер порівняємо трикутники $△ABE$ та $△DBC$:

1) $\angle ABE=\angle DBC$ — доведено вище.

2) $\angle BAE=\angle BDC$ (тобто $\angle BAC=\angle BDC$) — як вписані кути, що спираються на спільну дугу $BC$.

Отже, за двома кутами:
$△ABE\sim △DBC$

Запишемо відношення відповідних сторін:
$\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{CD}$

Звідси отримуємо:
$AB\cdot CD=AE\cdot BD(2)$

4. Додавання отриманих рівностей

Додамо почленно рівності $(1)$ та $(2)$:
$AB\cdot CD+AD\cdot BC=AE\cdot BD+EC\cdot BD$

Винесемо спільний множник $BD$ за дужки:
$AB\cdot CD+AD\cdot BC=(AE+EC)\cdot BD$

Оскільки точка $E$ за побудовою належить діагоналі $AC$, то за основною властивістю довжини відрізка $AE+EC=AC$. Тоді:
$AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD$

Твердження повністю доведено.

Відповідь:
Доведено.