Завдання № 42. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

У коло радіуса $R$ вписано трикутник, вершини якого ділять коло на частини у відношенні $2 : 5 : 17$ . Знайдіть площу трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження градусних мір дуг кола

Позначимо вершини вписаного трикутника як $A$ , $B$ та $C$ . Вершини ділять коло на три дуги, відношення яких дорівнює:

⌣ A B :⌣ B C :⌣ C A = 2 : 5 : 17

Повне коло містить $36 0^{\circ}$ . Знайдемо загальну кількість частин:

2 + 5 + 17 = 24

Обчислимо градусну міру кожної з трьох дуг:

⌣ A B = \frac{36 0 ^{\circ}}{24} \cdot 2 = 3 0^{\circ} ⌣ B C = \frac{36 0 ^{\circ}}{24} \cdot 5 = 7 5^{\circ} ⌣ C A = \frac{36 0 ^{\circ}}{24} \cdot 17 = 25 5^{\circ}

2. Аналіз розміщення центра кола та обчислення центральних кутів

Градусна міра центрального кута дорівнює градусній мірі дуги, на яку він спирається:

∠ A O B =⌣ A B = 3 0^{\circ}

∠ B O C =⌣ B C = 7 5^{\circ}

Оскільки дуга $⌣ C A = 25 5^{\circ} > 18 0^{\circ}$ , то трикутник $△ A B C$ є тупокутним, а центр кола $O$ лежить поза межами цього трикутника.

Менша дуга $A C$ , яка не містить вершини $B$ , дорівнює:

⌣ A C = 36 0^{\circ} - 25 5^{\circ} = 10 5^{\circ}

Відповідно, центральний кут:

∠ A O C = 10 5^{\circ}

3. Знаходження площі трикутника

Площу чотирикутника $O A B C$ можна розглядати як суму площ двох трикутників: $△ A O B$ та $△ B O C$ . Тоді площа шуканого трикутника $△ A B C$ дорівнює різниці площі цього чотирикутника та площі трикутника $△ A O C$ :

S_{△ A B C} = S_{△ A O B} + S_{△ B O C} - S_{△ A O C}

Скористаємося формулою площі трикутника за двома сторонами та синусом кута між ними ( $O A = O B = O C = R$ ):

S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \cdot R^{2} \cdot sin 3 0^{\circ} + \frac{1}{2} \cdot R^{2} \cdot sin 7 5^{\circ} - \frac{1}{2} \cdot R^{2} \cdot sin 10 5^{\circ}

За формулою зведення для синуса маємо:

sin 10 5^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 7 5^{\circ}) = sin 7 5^{\circ}

Підставимо це значення у вираз:

S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \cdot R^{2} \cdot sin 3 0^{\circ} + \frac{1}{2} \cdot R^{2} \cdot sin 7 5^{\circ} - \frac{1}{2} \cdot R^{2} \cdot sin 7 5^{\circ}

Доданки з $sin 7 5^{\circ}$ взаємно знищуються:

S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \cdot R^{2} \cdot sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot R^{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} R^{2}

Відповідь:
$\frac{1}{4} R^{2}$

Завдання № 42. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку