Завдання № 42. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть площу круга, вписаного в рівносторонній трикутник, площа якого дорівнює $9\sqrt{3}{\text{ см}}^2$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження сторони рівностороннього трикутника

Площа рівностороннього трикутника зі стороною $a$ обчислюється за формулою:
$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Підставимо відоме значення площі $S=9\sqrt{3}{\text{ см}}^2$:
$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$

Поділимо обидві частини рівняння на $\sqrt{3}$:
$\frac{a^2}{4}=9$

Помножимо обидві частини на $4$:
$a^2=36$

Оскільки довжина сторони є додатною величиною:
$a=\sqrt{36}=6\text{ см}$

2. Обчислення радіуса вписаного кола

Радіус кола $r$, вписаного в рівносторонній трикутник зі стороною $a$, визначається формулою:
$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Підставимо знайдену сторону $a=6\text{ см}$:
$r=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}\text{ см}$

(Також радіус можна знайти через півпериметр: $p=\frac{3\cdot 6}{2}=9\text{ см}$, тоді $r=\frac{S}{p}=\frac{9\sqrt{3}}{9}=\sqrt{3}\text{ см}$).

3. Обчислення площі вписаного круга

Площа круга визначається за формулою:
$S_{\text{кр}}=\pi \cdot r^2$

Підставимо значення радіуса $r=\sqrt{3}\text{ см}$:
$S_{\text{кр}}=\pi \cdot (\sqrt{3}{)}^2=3\pi {\text{ см}}^2$

Відповідь:
$3\pi {\text{ см}}^2$