Завдання № 41. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що площу чотирикутника, вписаного в коло, можна обчислити за формулою $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$, де $a$, $b$, $c$, $d$ — довжини сторін чотирикутника, а $p$ — його півпериметр (формула Брахмагупти).

Покроковий розв’язок:

1. Вираження площі чотирикутника через синус кута

Нехай задано чотирикутник $ABCD$, вписаний у коло, зі сторонами $AD=a$, $AB=b$, $BC=c$, $CD=d$.

За властивістю вписаного чотирикутника, сума його протилежних кутів дорівнює $180^{\circ }$. Нехай $\angle D=\alpha$, тоді протилежний йому кут $\angle B=180^{\circ }-\alpha$.

Проведемо діагональ $AC$, яка ділить чотирикутник на два трикутники: $△ADC$ та $△ABC$. Площа вписаного чотирикутника дорівнює сумі площ цих двох трикутників:
$S=S_{△ADC}+S_{△ABC}$

Використаємо формулу площі трикутника за двома сторонами та синусом кута між ними:
$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot d\cdot \sin \alpha +\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin (180^{\circ }-\alpha )$

За формулою зведення $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$, тому:
$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot d\cdot \sin \alpha +\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin \alpha =\frac{1}{2}(ad+bc)\sin \alpha$

Піднесемо обидві частини рівності до квадрата та скористаємося основною тригонометричною тотожністю ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$:
$S^2=\frac{1}{4}(ad+bc{)}^2{\sin }^2\alpha =\frac{1}{4}(ad+bc{)}^2(1-{\cos }^2\alpha )$

2. Знаходження $\cos \alpha$ за теоремою косинусів

Застосуємо теорему косинусів для діагоналі $AC$ у трикутниках $△ADC$ та $△ABC$:

• Із $△ADC$:
  $A{C}^2=a^2+d^2-2\cdot a\cdot d\cdot \cos \alpha$

• Із $△ABC$:
  $A{C}^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos (180^{\circ }-\alpha )$

Оскільки $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$, отримуємо:
$A{C}^2=b^2+c^2+2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha$

Прирівняємо вирази для $A{C}^2$:
$a^2+d^2-2ad\cos \alpha =b^2+c^2+2bc\cos \alpha$

Згрупуємо доданки з $\cos \alpha$:
$2(ad+bc)\cos \alpha =a^2+d^2-b^2-c^2$
$\cos \alpha =\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}$

3. Перетворення виразу для $S^2$

Підставимо отриманий вираз для $\cos \alpha$ у формулу площі:
$S^2=\frac{1}{4}(ad+bc{)}^2\left(1-\frac{(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2}{4(ad+bc{)}^2}\right)$

Зведемо до спільного знаменника всередині дужок та винесемо знаменник:
$S^2=\frac{1}{16}\left(4(ad+bc{)}^2-(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2\right)$
$S^2=\frac{1}{16}\left({\left(2(ad+bc)\right)}^2-(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2\right)$

Розкладемо різницю квадратів $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$S^2=\frac{1}{16}\left(2ad+2bc-a^2-d^2+b^2+c^2\right)\left(2ad+2bc+a^2+d^2-b^2-c^2\right)$

Згрупуємо доданки у формули повного квадрата:

• Перша дужка:
  $(b^2+2bc+c^2)-(a^2-2ad+d^2)=(b+c{)}^2-(a-d{)}^2$
• Друга дужка:
  $(a^2+2ad+d^2)-(b^2-2bc+c^2)=(a+d{)}^2-(b-c{)}^2$

Отримуємо:
$S^2=\frac{1}{16}\left((b+c{)}^2-(a-d{)}^2\right)\left((a+d{)}^2-(b-c{)}^2\right)$

Ще раз застосуємо формулу різниці квадратів до обох множників:
$(b+c{)}^2-(a-d{)}^2=(b+c-a+d)(b+c+a-d)$
$(a+d{)}^2-(b-c{)}^2=(a+d-b+c)(a+d+b-c)$

Отже:
$S^2=\frac{1}{16}(b+c+d-a)(a+b+c-d)(a+c+d-b)(a+b+d-c)$

4. Вираження сторін через півпериметр $p$

Периметр чотирикутника дорівнює $2p=a+b+c+d$. Тоді:
$b+c+d-a=(a+b+c+d)-2a=2p-2a=2(p-a)$
$a+c+d-b=(a+b+c+d)-2b=2p-2b=2(p-b)$
$a+b+d-c=(a+b+c+d)-2c=2p-2c=2(p-c)$
$a+b+c-d=(a+b+c+d)-2d=2p-2d=2(p-d)$

Підставимо ці вирази у формулу для $S^2$:
$S^2=\frac{1}{16}\cdot 2(p-a)\cdot 2(p-b)\cdot 2(p-c)\cdot 2(p-d)$
$S^2=\frac{16}{16}(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)$

Добудемо квадратний корінь з обох частин:
$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

Твердження доведено.

Відповідь:
Доведено, що $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$.