Завдання № 41. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Довжини двох кіл дорівнюють $a\pi \text{ см}$ і $3a\pi \text{ см}$. Знайдіть відношення площ обмежених ними кругів.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження радіусів кіл
Довжина кола обчислюється за формулою:
$C=2\pi R$
Звідси радіус кола дорівнює:
$R=\frac{C}{2\pi }$

Визначимо радіус першого кола ($R_1$) та радіус другого кола ($R_2$):
$R_1=\frac{a\pi }{2\pi }=\frac{a}{2}\text{ (см)}$
$R_2=\frac{3a\pi }{2\pi }=\frac{3a}{2}\text{ (см)}$

2. Обчислення площ кругів
Площа круга визначається за формулою:
$S=\pi R^2$

Обчислимо площу кожного з кругів:
$S_1=\pi \cdot R_1^2=\pi \cdot {\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{\pi a^2}{4}{\text{ (см}}^2\text{)}$
$S_2=\pi \cdot R_2^2=\pi \cdot {\left(\frac{3a}{2}\right)}^2=\frac{9\pi a^2}{4}{\text{ (см}}^2\text{)}$

3. Знаходження відношення площ
Знайдемо відношення площі першого круга до площі другого:
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{\pi a^2}{4}}{\frac{9\pi a^2}{4}}=\frac{\pi a^2}{4}\cdot \frac{4}{9\pi a^2}=\frac{1}{9}$

(Зауваження: Оскільки будь-які два круги подібні між собою, відношення їхніх площ дорівнює квадрату коефіцієнта подібності, тобто квадрату відношення довжин відповідних кіл: $\frac{S_1}{S_2}={\left(\frac{C_1}{C_2}\right)}^2={\left(\frac{a\pi }{3a\pi }\right)}^2={\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$).

Відповідь: $1:9$ (або $\frac{1}{9}$)