Завдання № 40. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Обчисліть площу трапеції, якщо її основи дорівнюють $a$ і $b$ ( $a > b$ ), а прилеглі до основи $a$ гострі кути дорівнюють $α$ і $β$ .

Покроковий розв’язок:

1. Додаткові побудови та властивості фігури

Нехай задано трапецію $A B C D$ , у якій основи $A D = a$ , $B C = b$ ( $a > b$ ), а прилеглі до більшої основи гострі кути $∠ A = α$ та $∠ D = β$ .

Проведемо з вершин меншої основи висоти $B K ⊥ A D$ та $C M ⊥ A D$ . Позначимо довжину висоти трапеції через $h$ :
$B K = C M = h$

Чотирикутник $B C M K$ є прямокутником (оскільки $B C ∥ K M$ як основи трапеції та $B K ∥ C M$ як два перпендикуляри до однієї прямої, а всі кути прямі). Звідси:
$K M = B C = b$

Оскільки точка $K$ та точка $M$ лежать на відрізку $A D$ , основу $A D$ можна подати як суму відрізків:
$A D = A K + K M + M D$
$a = A K + b + M D ⟹ A K + M D = a - b$

2. Вираження відрізків через висоту

Розглянемо прямокутні трикутники, утворені висотами:

Із прямокутного $△ A B K$ ( $∠ A K B = 9 0^{\circ}$ ):
$tg α = \frac{B K}{A K} = \frac{h}{A K} ⟹ A K = \frac{h}{tg α}$
Із прямокутного $△ D C M$ ( $∠ C M D = 9 0^{\circ}$ ):
$tg β = \frac{C M}{M D} = \frac{h}{M D} ⟹ M D = \frac{h}{tg β}$

3. Знаходження висоти трапеції

Підставимо отримані вирази для $A K$ та $M D$ у рівність $A K + M D = a - b$ :
$\frac{h}{tg α} + \frac{h}{tg β} = a - b$

Винесемо $h$ за дужки та скористаємося означенням тангенса через синус і косинус ( $tg x = \frac{sin x}{cos x}$ , звідки $\frac{1}{tg x} = \frac{cos x}{sin x}$ ):
$h \cdot (\frac{cos α}{sin α} + \frac{cos β}{sin β}) = a - b$

Зведемо дроби в дужках до спільного знаменника:
$\frac{cos α \cdot sin β + sin α \cdot cos β}{sin α \cdot sin β} = \frac{sin ( α + β )}{sin α \cdot sin β}$

Отримуємо рівняння:
$h \cdot \frac{sin ( α + β )}{sin α \cdot sin β} = a - b$

Звідси виразимо висоту $h$ :
$h = \frac{( a - b ) \cdot sin α \cdot sin β}{sin ( α + β )}$

4. Обчислення площі трапеції

Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту:
$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$

Підставимо вираз для висоти $h$ :
$S = \frac{a + b}{2} \cdot \frac{( a - b ) \cdot sin α \cdot sin β}{sin ( α + β )}$

Застосуємо формулу різниці квадратів $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ :
$S = \frac{( a ^{2} - b ^{2} ) \cdot sin α \cdot sin β}{2 \cdot sin ( α + β )}$

Відповідь:
$\frac{( a ^{2} - b ^{2} ) \cdot sin α \cdot sin β}{2 \cdot sin ( α + β )}$

Завдання № 40. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку