Завдання № 40. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Три дороги утворюють трикутник $ABC$, у якому $\angle A=20^{\circ }$, $\angle B=145^{\circ }$, причому $AB$ — шосе, а $AC$ та $BC$ — ґрунтові дороги. Швидкість руху шосейною дорогою вдвічі більша за швидкість руху ґрунтовою дорогою. Водій хоче якнайшвидше дістатися з пункту $A$ в пункт $C$. Який маршрут має обрати водій?

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження третього кута трикутника

Сума кутів будь-якого трикутника дорівнює $180^{\circ }$. Знайдемо кут $C$ у $△ABC$:
$\angle C=180^{\circ }-(\angle A+\angle B)=180^{\circ }-(20^{\circ }+145^{\circ })=180^{\circ }-165^{\circ }=15^{\circ }$

2. Вираження сторін за теоремою синусів

За теоремою синусів сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:
$\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$

Підставимо значення кутів:
$\frac{AB}{\sin 15^{\circ }}=\frac{BC}{\sin 20^{\circ }}=\frac{AC}{\sin 145^{\circ }}$

Використовуючи формулу зведення $\sin 145^{\circ }=\sin (180^{\circ }-35^{\circ })=\sin 35^{\circ }$ та значення синусів:

• $\sin 15^{\circ }\approx 0,2588$
• $\sin 20^{\circ }\approx 0,3420$
• $\sin 145^{\circ }=\sin 35^{\circ }\approx 0,5736$

Виразимо довжини доріг $BC$ та $AC$ через довжину відрізка шосе $AB$:
$BC=\frac{AB\cdot \sin 20^{\circ }}{\sin 15^{\circ }}\approx \frac{AB\cdot 0,3420}{0,2588}\approx 1,32\cdot AB$

$AC=\frac{AB\cdot \sin 145^{\circ }}{\sin 15^{\circ }}\approx \frac{AB\cdot 0,5736}{0,2588}\approx 2,22\cdot AB$

3. Порівняння часу руху двома маршрутами

Нехай швидкість руху ґрунтовою дорогою дорівнює $v$, тоді швидкість руху шосе становить $2\cdot v$.

У водія є два можливі варіанти маршруту з пункту $A$ до пункту $C$:

• Маршрут 1 (через пункт $B$): рух відрізком $AB$ по шосе та відрізком $BC$ по ґрунтовій дорозі.
• Маршрут 2 (напряму): рух відрізком $AC$ по ґрунтовій дорозі.

Обчислимо час, витрачений на подолання кожного з маршрутів:

Час на Маршрут 1:
$t_1=\frac{AB}{2\cdot v}+\frac{BC}{v}\approx \frac{AB}{2\cdot v}+\frac{1,32\cdot AB}{v}=\frac{AB+2\cdot 1,32\cdot AB}{2\cdot v}=\frac{3,64\cdot AB}{2\cdot v}=\frac{1,82\cdot AB}{v}$

Час на Маршрут 2:
$t_2=\frac{AC}{v}\approx \frac{2,22\cdot AB}{v}$

Оскільки $1,82<2,22$, маємо $t_1<t_2$. Час руху через пункт $B$ значно менший, ніж напряму по ґрунтовій дорозі $AC$.

Відповідь: водієві слід обрати маршрут через пункт $B$ (траєкторію $A\to B\to C$).