Завдання № 4. Завдання для перевірки знань до §§ 11–14 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві сторони трикутника дорівнюють $6\text{ см}$ і $10\text{ см}$, а кут між ними дорівнює $120^{\circ }$. Знайдіть третю сторону трикутника.

Покроковий розв’язок:

Нехай у трикутнику $ABC$ задано дві сторони та кут між ними:

• $a=10\text{ см}$;
• $b=6\text{ см}$;
• $\angle C=120^{\circ }$.

Потрібно знайти довжину третьої сторони $c=AB$.

1. Застосування теореми косинусів

За теоремою косинусів квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними:
$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \angle C$

2. Обчислення значення косинуса тупого кута

Знайдемо косинус кута $120^{\circ }$, скориставшись формулою зведення $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$:
$\cos 120^{\circ }=\cos (180^{\circ }-60^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$

3. Знаходження довжини невідомої сторони

Підставимо відомі числові дані у формулу:

Оскільки довжина сторони трикутника є додатною величиною:
$c=\sqrt{196}=14\text{ см}$

Відповідь:
$14\text{ см}$