Завдання № 4. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Вершини трикутника $A B C$ мають координати $A (- 4; - 1)$ , $B (- 1; 3)$ , $C (2; - 1)$ . Бісектриса кута $A$ перетинає сторону $B C$ у точці $N$ . Знайдіть координати точки $N$ .

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження довжин сторін трикутника
Знайдемо довжини сторін $A B$ та $A C$ , що утворюють кут $A$ , за формулою відстані між двома точками:

A B A C = (- 1 - (- 4))^{2} + (3 - (- 1))^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5 = (2 - (- 4))^{2} + (- 1 - (- 1))^{2} = 6^{2} + 0^{2} = 36 = 6

2. Застосування властивості бісектриси трикутника
За властивістю бісектриси внутрішнього кута трикутника, бісектриса ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам:
$\frac{B N}{N C} = \frac{A B}{A C} = \frac{5}{6}$

Це означає, що відрізок $B C$ ділиться точкою $N$ у відношенні $5 : 6$ , рахуючи від вершини $B$ . Отже, відрізок $B N$ становить $\frac{5}{5 + 6} = \frac{5}{11}$ довжини всієї сторони $B C$ .

У векторній формі це записується як:
$B N = \frac{5}{11} \cdot B C$

3. Обчислення координат точки $N$
Знайдемо координати вектора $B C$ :
$B C = (x_{C} - x_{B}; y_{C} - y_{B}) = (2 - (- 1); - 1 - 3) = (3; - 4)$

Тоді координати вектора $B N$ дорівнюють:
$B N = \frac{5}{11} \cdot B C = (\frac{5}{11} \cdot 3; \frac{5}{11} \cdot (- 4)) = (\frac{15}{11}; - \frac{20}{11})$

Нехай точка $N$ має координати $(x; y)$ . Оскільки $B N = (x - x_{B}; y - y_{B})$ , маємо:

x - (- 1) = \frac{15}{11} ⟹ x = - 1 + \frac{15}{11} = \frac{4}{11} y - 3 = - \frac{20}{11} ⟹ y = 3 - \frac{20}{11} = \frac{13}{11} = 1 \frac{2}{11}

Таким чином, точка $N$ має координати $(\frac{4}{11}; 1 \frac{2}{11})$ .

Відповідь:
$N (\frac{4}{11}; 1 \frac{2}{11})$

Завдання № 4. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку