Завдання № 4. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Одна з бічних сторін трапеції дорівнює $10\text{ см}$ і утворює з меншою основою кут $120^{\circ }$. Знайдіть діагоналі трапеції, якщо її основи дорівнюють $6\text{ см}$ і $16\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

Нехай $ABCD$ — дана трапеція з основами $BC=6\text{ см}$, $AD=16\text{ см}$ та бічною стороною $AB=10\text{ см}$. За умовою кут між бічною стороною $AB$ та меншою основою $BC$ становить $\angle ABC=120^{\circ }$.

1. Обчислення діагоналі $AC$

Розглянемо трикутник $△ABC$. У ньому відомі дві сторони та кут між ними: $AB=10\text{ см}$, $BC=6\text{ см}$, $\angle ABC=120^{\circ }$.

За теоремою косинусів:
$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle ABC$

Враховуючи, що $\cos 120^{\circ }=\cos (180^{\circ }-60^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$, підставимо числові значення:

2. Визначення виду трапеції та другої діагоналі

Оскільки основи трапеції паралельні ($BC\parallel AD$), кути $\angle ABC$ та $\angle BAD$ є внутрішніми односторонніми при січній $AB$:
$\angle BAD=180^{\circ }-\angle ABC=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$

Опустимо висоти $BH\perp AD$ та $CK\perp AD$.
У прямокутному трикутнику $△ABH$ ($\angle AHB=90^{\circ }$, $\angle BAH=60^{\circ }$):
$AH=AB\cdot \cos 60^{\circ }=10\cdot \frac{1}{2}=5\text{ см}$

Оскільки $BCKH$ — прямокутник, то $HK=BC=6\text{ см}$. Знайдемо відрізок $KD$:
$KD=AD-AH-HK=16-5-6=5\text{ см}$

Оскільки $AH=KD=5\text{ см}$, прямокутні трикутники $△ABH$ та $△DCK$ рівні за двома катетами ($BH=CK$ як висоти трапеції, $AH=KD$). Звідси слідує, що $CD=AB=10\text{ см}$, тобто трапеція $ABCD$ є рівнобічною.

У рівнобічній трапеції діагоналі рівні між собою:
$BD=AC=14\text{ см}$

Відповідь:
$14\text{ см}$, $14\text{ см}$.