Завдання № 4.41. § 4. Рівняння кола (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

(Задача Стенфордського університету.) Точка лежить у внутрішній області рівностороннього трикутника. Відстані від цієї точки до сторін трикутника дорівнюють $a$, $b$ і $c$, а висота трикутника — $h$. Доведіть, що $a+b+c=h$.

Покроковий розв’язок:

1. Позначення та геометрична побудова:
Нехай дано рівносторонній трикутник $△MNP$, кожна сторона якого дорівнює $x$ ($MN=NP=MP=x$), а висота трикутника дорівнює $h$.
Всередині трикутника позначимо точку $K$.
Відстані від точки $K$ до сторін трикутника є довжинами перпендикулярів, проведених із точки $K$ до відповідних сторін:

• до сторони $NP$ — перпендикуляр довжиною $a$;
• до сторони $MN$ — перпендикуляр довжиною $b$;
• до сторони $MP$ — перпендикуляр довжиною $c$.

Сполучимо внутрішню точку $K$ із кожною вершиною трикутника відрізками $KM$, $KN$ та $KP$.

2. Обчислення повної площі трикутника:
Площу довільного трикутника можна знайти як половину добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони. Оскільки трикутник рівносторонній зі стороною $x$ та висотою $h$, його площа дорівнює:
$S_{△MNP}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot h$

3. Розбиття на три трикутники:
Відрізки $KM$, $KN$ і $KP$ ділять вихідний трикутник $△MNP$ на три складові трикутники зі спільною вершиною $K$: $△KNP$, $△KMN$ та $△KMP$.
За властивістю адитивності площі, площа всієї фігури дорівнює сумі площ її частин:
$S_{△MNP}=S_{△KNP}+S_{△KMN}+S_{△KMP}$

4. Обчислення площ складових частин:
У кожному з трьох утворених трикутників одна зі сторін є стороною вихідного рівностороннього трикутника і дорівнює $x$, а відповідні відстані від точки $K$ є висотами:

• для $△KNP$: сторона $NP=x$, висота дорівнює $a$, отже:
  $S_{△KNP}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot a$
• для $△KMN$: сторона $MN=x$, висота дорівнює $b$, отже:
  $S_{△KMN}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot b$
• для $△KMP$: сторона $MP=x$, висота дорівнює $c$, отже:
  $S_{△KMP}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot c$

Підставимо ці вирази в рівність для повної площі та винесемо спільний множник $\frac{1}{2}\cdot x$ за дужки:
$S_{△MNP}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot a+\frac{1}{2}\cdot x\cdot b+\frac{1}{2}\cdot x\cdot c=\frac{1}{2}\cdot x\cdot (a+b+c)$

5. Порівняння площ та завершення доведення:
Прирівняємо обидва вирази для площі $S_{△MNP}$:
$\frac{1}{2}\cdot x\cdot h=\frac{1}{2}\cdot x\cdot (a+b+c)$

Оскільки сторона трикутника $x>0$, поділимо обидві частини рівності на ненульовий спільний множник $\frac{1}{2}\cdot x$:
$h=a+b+c$
або:
$a+b+c=h$

Твердження повністю доведено (це співвідношення відоме в геометрії як теорема Вівіані).

Відповідь:
Доведено, що для будь-якої внутрішньої точки рівностороннього трикутника сума відстаней до його сторін дорівнює висоті трикутника: $a+b+c=h$.