Завдання № 4.35. § 4. Рівняння кола (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть площу прямокутного трикутника, у якому висота, проведена до гіпотенузи, ділить її на відрізки $4\text{ см}$ і $9\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

Нехай задано прямокутний трикутник $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$), у якому проведено висоту $CH\perp AB$ ($h=CH$). За умовою, точка $H$ ділить гіпотенузу $AB$ на відрізки $AH=9\text{ см}$ та $HB=4\text{ см}$.

1. Обчислення довжини гіпотенузи

Гіпотенуза $AB$ дорівнює сумі двох відрізків, на які її ділить основа висоти:
$AB=AH+HB=9+4=13\text{ см}$

2. Знаходження висоти трикутника

За метричними співвідношеннями у прямокутному трикутнику, висота, проведена до гіпотенузи, є середнім геометричним (середнім пропорційним) проекцій катетів на гіпотенузу:
$C{H}^2=AH\cdot HB$

Звідси знаходимо висоту $h$:
$h=CH=\sqrt{AH\cdot HB}=\sqrt{9\cdot 4}=\sqrt{36}=6\text{ см}$

3. Обчислення площі прямокутного трикутника

Площу трикутника можна знайти як половину добутку сторони (гіпотенузи) та проведеної до неї висоти:
$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH$

Підставимо отримані значення:
$S=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 6=13\cdot 3=39{\text{ см}}^2$

Відповідь: $39{\text{ см}}^2$.