Завдання № 4.34. § 4. Рівняння кола (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Бісектриса кута прямокутника ділить його сторону у відношенні $1:2$, починаючи від найближчої до цього кута вершини. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює $56\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Дослідження трикутника $△ABK$

Нехай задано прямокутник $ABCD$, у якому проведено бісектрису $AK$ кута $A$ ($K\in BC$).
За означенням бісектриси маємо:

Оскільки протилежні сторони прямокутника паралельні ($BC\parallel AD$), то кути $\angle 2$ та $\angle 3$ є внутрішніми різносторонніми при паралельних прямих $BC$ і $AD$ та січній $AK$. Отже:

З рівностей $\angle 1=\angle 3$ та $\angle 2=\angle 3$ випливає, що:

Якщо в трикутнику два кути рівні, то він є рівнобедреним. Отже, $△ABK$ — рівнобедрений з основою $AK$, звідки:

2. Вираження сторін прямокутника через змінну

За умовою точка $K$ ділить сторону $BC$ у відношенні $BK:KC=1:2$, рахуючи від вершини $B$.
Введемо коефіцієнт пропорційності $x>0$:

Тоді вся довжина сторони $BC$ дорівнює:

Оскільки $AB=BK$, маємо:

3. Складання рівняння за периметром

Периметр прямокутника $ABCD$ обчислюється за формулою:

Підставимо вирази сторін через $x$ та відоме значення периметра ($P=56\text{ см}$):

4. Обчислення довжин сторін прямокутника

Знаходимо довжини сторін прямокутника:

Відповідь: $7\text{ см}$, $21\text{ см}$, $7\text{ см}$, $21\text{ см}$.