Завдання № 4.32. § 4. Рівняння кола (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Складіть рівняння кола, вписаного в трикутник $ABC$, якщо $A(0;3)$, $B(4;0)$, $C(0;0)$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення виду трикутника та довжин його сторін
Вершина $C(0;0)$ є початком координат, вершина $A(0;3)$ лежить на осі ординат ($Oy$), а вершина $B(4;0)$ — на осі абсцис ($Ox$).
Оскільки координатні осі перпендикулярні, кут $\angle C=90^{\circ }$, тобто $△ABC$ — прямокутний із катетами $AC$ та $BC$.

Знайдемо довжини катетів за координатами точок:
$AC=|3-0|=3$
$BC=|4-0|=4$

За теоремою Піфагора обчислимо гіпотенузу $AB$:
$AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

2. Знаходження радіуса вписаного кола
Радіус $r$ кола, вписаного в прямокутний трикутник, можна знайти за формулою:
$r=\frac{AC+BC-AB}{2}$

Підставимо значення довжин сторін:
$r=\frac{3+4-5}{2}=\frac{2}{2}=1$

(Також радіус можна обчислити через площу $S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6$ та півпериметр $p=\frac{3+4+5}{2}=6$: $r=\frac{S}{p}=\frac{6}{6}=1$).

3. Визначення координат центра вписаного кола
Коло вписане в кут $\angle C$, вершина якого знаходиться в точці $(0;0)$, а його сторони збігаються з додатними півосями координат. Отже, центр кола $O(x_0;y_0)$ віддалений від осей $Ox$ та $Oy$ на відстань, що дорівнює радіусу $r$:
$x_0=r=1$
$y_0=r=1$

Таким чином, центр вписаного кола має координати $O(1;1)$.

4. Складання рівняння кола
Загальне рівняння кола з центром у точці $(x_0;y_0)$ та радіусом $r$ має вигляд:
$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$

Підставимо отримані координати центра $O(1;1)$ та радіус $r=1$:
$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1^2$
$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1$

Відповідь: $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1$.