Завдання № 4.31. § 4. Рівняння кола (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

З’ясуйте взаємне розташування двох кіл (дотик, перетин чи відсутність спільних точок):

1) $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 9$ і $x^{2} + y^{2} = 16$ ;

2) $(x + 1)^{2} + (y - 7)^{2} = 49$ і $(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ .

Покроковий розв’язок:

Рівняння кола із центром у точці $O (a; b)$ і радіусом $R$ має вигляд:
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$

Взаємне розміщення двох кіл із центрами $O_{1}$ , $O_{2}$ та радіусами $R_{1}$ , $R_{2}$ залежить від відстані між їхніми центрами $d = O_{1} O_{2}$ :

Якщо $d > R_{1} + R_{2}$ , кола не мають спільних точок (лежать одне поза одним).
Якщо $d = R_{1} + R_{2}$ , кола мають зовнішній дотик.
Якщо $∣ R_{1} - R_{2} ∣ < d < R_{1} + R_{2}$ , кола перетинаються у двох точках.
Якщо $d = ∣ R_{1} - R_{2} ∣$ , кола мають внутрішній дотик.
Якщо $d < ∣ R_{1} - R_{2} ∣$ , кола не мають спільних точок (одне коло лежить усередині іншого).

1. Дослідження першої пари кіл

Для першого кола $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 9$ :

центр $O_{1} (- 1; 3)$ ;
радіус $R_{1} = 9 = 3$ .

Для другого кола $x^{2} + y^{2} = 16$ :

центр $O_{2} (0; 0)$ ;
радіус $R_{2} = 16 = 4$ .

Знайдемо відстань між центрами кіл $O_{1}$ та $O_{2}$ за формулою відстані між двома точками:
$O_{1} O_{2} = (0 - (- 1))^{2} + (0 - 3)^{2} = 1^{2} + (- 3)^{2} = 1 + 9 = 10$

Обчислимо суму та модуль різниці радіусів:
$R_{1} + R_{2} = 3 + 4 = 7$
$∣ R_{1} - R_{2} ∣ = ∣3 - 4∣ = 1$

Оскільки $1 < 10 < 7$ (бо $1^{2} < 10 < 7^{2}$ ), виконується нерівність:
$∣ R_{1} - R_{2} ∣ < O_{1} O_{2} < R_{1} + R_{2}$

Отже, кола перетинаються (мають дві спільні точки).

2. Дослідження другої пари кіл

Для першого кола $(x + 1)^{2} + (y - 7)^{2} = 49$ :

центр $O_{1} (- 1; 7)$ ;
радіус $R_{1} = 49 = 7$ .

Для другого кола $(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ :

центр $O_{2} (- 4; 3)$ ;
радіус $R_{2} = 4 = 2$ .

Знайдемо відстань між центрами кіл $O_{1}$ та $O_{2}$ :
$O_{1} O_{2} = (- 4 - (- 1))^{2} + (3 - 7)^{2} = (- 3)^{2} + (- 4)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$

Знайдемо різницю радіусів:
$R_{1} - R_{2} = 7 - 2 = 5$

Оскільки відстань між центрами дорівнює різниці радіусів ( $O_{1} O_{2} = R_{1} - R_{2} = 5$ ), то кола мають внутрішній дотик (дотикаються в одній спільній точці, причому менше коло лежить усередині більшого).

Відповідь:

1) Кола перетинаються;

2) Кола мають внутрішній дотик.

Завдання № 4.31. § 4. Рівняння кола (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку