Завдання № 4.30. § 4. Рівняння кола (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

З’ясуйте взаємне розташування двох кіл (дотик, перетин чи відсутність спільних точок):

1) $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ і $(x - 6)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ ;

2) $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ і $(x - 3)^{2} + (y - 7)^{2} = 25$ .

Покроковий розв’язок:

Рівняння кола із центром у точці $O (a; b)$ і радіусом $R$ має вигляд:
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$

Взаємне розміщення двох кіл із центрами $O_{1}$ , $O_{2}$ та радіусами $R_{1}$ , $R_{2}$ залежить від відстані між їхніми центрами $d = O_{1} O_{2}$ :

якщо $d > R_{1} + R_{2}$ , то кола лежать одне поза одним і не мають спільних точок;
якщо $d = R_{1} + R_{2}$ , то кола дотикаються ззовні (мають одну спільну точку);
якщо $∣ R_{1} - R_{2} ∣ < d < R_{1} + R_{2}$ , то кола перетинаються (мають дві спільні точки);
якщо $d = ∣ R_{1} - R_{2} ∣$ (при $d \neq = 0$ ), то кола дотикаються внутрішнім чином (мають одну спільну точку);
якщо $d < ∣ R_{1} - R_{2} ∣$ , одне коло лежить усередині іншого і вони не мають спільних точок.

Відстань між двома точками $O_{1} (x_{1}; y_{1})$ і $O_{2} (x_{2}; y_{2})$ обчислюється за формулою:
$d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

1. Дослідження першої пари кіл

Для першого кола $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ :

координати центра: $O_{1} (1; 2)$ ;
радіус: $R_{1} = 4 = 2$ .

Для другого кола $(x - 6)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ :

координати центра: $O_{2} (6; 2)$ ;
радіус: $R_{2} = 9 = 3$ .

Обчислимо відстань між центрами $O_{1}$ та $O_{2}$ :
$d = O_{1} O_{2} = (6 - 1)^{2} + (2 - 2)^{2} = 5^{2} + 0^{2} = 25 = 5$

Знайдемо суму радіусів:
$R_{1} + R_{2} = 2 + 3 = 5$

Оскільки $d = R_{1} + R_{2}$ ( $5 = 5$ ), кола мають зовнішній дотик (одну спільну точку).

2. Дослідження другої пари кіл

Для першого кола $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ :

координати центра: $O_{1} (0; 1)$ ;
радіус: $R_{1} = 1 = 1$ .

Для другого кола $(x - 3)^{2} + (y - 7)^{2} = 25$ :

координати центра: $O_{2} (3; 7)$ ;
радіус: $R_{2} = 25 = 5$ .

Обчислимо відстань між центрами $O_{1}$ та $O_{2}$ :
$d = O_{1} O_{2} = (3 - 0)^{2} + (7 - 1)^{2} = 3^{2} + 6^{2} = 9 + 36 = 45$

Знайдемо суму радіусів:
$R_{1} + R_{2} = 1 + 5 = 6$

Порівняємо величини $d = 45$ та $R_{1} + R_{2} = 6 = 36$ :
$45 > 36 ⟹ d > R_{1} + R_{2}$

Оскільки відстань між центрами більша за суму їхніх радіусів, кола розташовані одне поза одним і не мають спільних точок.

Відповідь:

1) Кола дотикаються (мають зовнішній дотик);

2) Кола не мають спільних точок.

Завдання № 4.30. § 4. Рівняння кола (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку