Завдання № 4.29. § 4. Рівняння кола (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Складіть рівняння кола, що проходить через точку $B(-2;0)$, центр якого лежить на бісектрисі першого координатного кута, а радіус дорівнює $10$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення координат центра кола
Рівняння кола з центром у точці $O(a;b)$ і радіусом $R$ має вигляд:
$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$

Бісектриса першого координатного кута є променем прямої $y=x$, для точок якого виконується умова $x>0$ та $y>0$. Отже, координати центра кола мають вигляд $O(a;a)$, де $a>0$.

2. Складання рівняння за умовою задачі
Оскільки радіус кола дорівнює $10$, а точка $B(-2;0)$ належить цьому колу, відстань від центра $O(a;a)$ до точки $B$ дорівнює радіусу ($OB=R=10$).

За формулою відстані між двома точками:
$OB=\sqrt{(-2-a{)}^2+(0-a{)}^2}=10$

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата:
$(-2-a{)}^2+(-a{)}^2=10^2$

Розкриємо дужки:
$4+4\cdot a+a^2+a^2=100$
$2\cdot a^2+4\cdot a+4-100=0$
$2\cdot a^2+4\cdot a-96=0$

Поділимо обидві частини рівняння на $2$:
$a^2+2\cdot a-48=0$

3. Знаходження коренів квадратного рівняння
Знайдемо корені за теоремою Вієта або за допомогою дискримінанта:
$D=2^2-4\cdot 1\cdot (-48)=4+192=196=14^2$
$a_1=\frac{-2+14}{2}=\frac{12}{2}=6$
$a_2=\frac{-2-14}{2}=\frac{-16}{2}=-8$

4. Перевірка геометричного змісту знайдених значень

• Якщо $a=6$, то центр кола має координати $O(6;6)$. Оскільки $6>0$, ця точка належить бісектрисі першого координатного кута.
• Якщо $a=-8$, то точка $(-8;-8)$ належить бісектрисі третього координатного кута, тому цей розв’язок не задовольняє умову задачі.

Отже, центром кола є точка $O(6;6)$, а радіус $R=10$.

5. Запис рівняння кола
Підставимо координати центра та значення радіуса в загальне рівняння кола:
$(x-6{)}^2+(y-6{)}^2=10^2$
$(x-6{)}^2+(y-6{)}^2=100$

Відповідь:
$(x-6{)}^2+(y-6{)}^2=100$