Завдання № 4.28. § 4. Рівняння кола (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Складіть рівняння кола із центром, який лежить на бісектрисі другого координатного кута, і радіусом $13$ , яке проходить через точку $A (1; - 8)$ .

Покроковий розв’язок:

1. Визначення координат центра кола
Другий координатний кут (II чверть) утворений від’ємною піввіссю абсцис ( $x < 0$ ) та додатною піввіссю ординат ( $y > 0$ ). Бісектрисою другого координатного кута є промінь, що виходить із початку координат у II чверть, для точок якого виконується рівність $y = - x$ за умови $x < 0$ .

Нехай шуканий центр кола — точка $O (x_{0}; y_{0})$ . Оскільки центр лежить на бісектрисі другого координатного кута, його координати мають вигляд:
$O (x_{0}; - x_{0}), де x_{0} < 0$

2. Складання рівняння за умовою радіуса
Рівняння кола з центром $O (x_{0}; y_{0})$ і радіусом $R$ має вигляд:
$(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = R^{2}$

Підставимо виражені координати центра та відомий радіус $R = 13$ :
$(x - x_{0})^{2} + (y - (- x_{0}))^{2} = 1 3^{2}$
$(x - x_{0})^{2} + (y + x_{0})^{2} = 169$

Оскільки коло проходить через точку $A (1; - 8)$ , її координати задовольняють це рівняння:
$(1 - x_{0})^{2} + (- 8 + x_{0})^{2} = 169$

3. Розв’язання квадратного рівняння
Розкриємо квадрати двочленів:
$1 - 2 x_{0} + x_{0}^{2} + 64 - 16 x_{0} + x_{0}^{2} = 169$
$2 x_{0}^{2} - 18 x_{0} + 65 - 169 = 0$
$2 x_{0}^{2} - 18 x_{0} - 104 = 0$

Поділимо обидві частини рівняння на $2$ :
$x_{0}^{2} - 9 x_{0} - 52 = 0$

Знайдемо дискримінант:
$D = (- 9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 52) = 81 + 208 = 289 = 1 7^{2}$

Обчислимо корені:
$x_{0, 1} = \frac{9 - 17}{2} = \frac{- 8}{2} = - 4$
$x_{0, 2} = \frac{9 + 17}{2} = \frac{26}{2} = 13$

4. Геометричний відбір коренів

Якщо $x_{0} = - 4$ , то $y_{0} = - (- 4) = 4$ . Точка $O (- 4; 4)$ лежить у II координатній чверті ( $x < 0$ , $y > 0$ ), отже, вона дійсно належить бісектрисі другого координатного кута.
Якщо $x_{0} = 13$ , то $y_{0} = - 13$ . Точка $(13; - 13)$ лежить у IV координатній чверті, тобто належить бісектрисі четвертого координатного кута, що не відповідає умові задачі.

Отже, центром кола є точка $O (- 4; 4)$ .

5. Запис шуканого рівняння кола
Підставимо координати центра $O (- 4; 4)$ та радіус $R = 13$ у рівняння кола:
$(x - (- 4))^{2} + (y - 4)^{2} = 1 3^{2}$
$(x + 4)^{2} + (y - 4)^{2} = 169$

Відповідь:
$(x + 4)^{2} + (y - 4)^{2} = 169$

Завдання № 4.28. § 4. Рівняння кола (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку