Завдання № 4.27. § 4. Рівняння кола (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Коло задано рівнянням $(x-1{)}^2+(y+5{)}^2=16$. Не виконуючи малюнка, визначте, які з точок $A(4;-2)$, $B(-3;-5)$, $C(-2;-7)$, $D(5;1)$ лежать:

1) усередині круга, обмеженого цим колом;

2) на колі;

3) поза кругом, обмеженим цим колом.

Покроковий розв’язок:

Загальне рівняння кола з центром у точці $O(x_0;y_0)$ і радіусом $R$ має вигляд:
$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$

Для даного кола $(x-1{)}^2+(y+5{)}^2=16$:

• координати центра: $O(1;-5)$;
• радіус кола: $R=\sqrt{16}=4$, відповідно $R^2=16$.

Взаємне розміщення точки $M(x;y)$ і кола радіуса $R$ з центром $O(1;-5)$ визначається за значенням виразу $(x-1{)}^2+(y+5{)}^2$, який дорівнює квадрату відстані $O{M}^2$:

• якщо $(x-1{)}^2+(y+5{)}^2<16$ (тобто $OM<R$), то точка лежить усередині круга;
• якщо $(x-1{)}^2+(y+5{)}^2=16$ (тобто $OM=R$), то точка лежить на колі;
• якщо $(x-1{)}^2+(y+5{)}^2>16$ (тобто $OM>R$), то точка лежить поза кругом.

Підставимо координати кожної з заданих точок у ліву частину рівняння кола:

1. Перевірка точки $A(4;-2)$:
$(4-1{)}^2+(-2+5{)}^2=3^2+3^2=9+9=18$
Оскільки $18>16$, то точка $A$ лежить поза кругом, обмеженим цим колом.

2. Перевірка точки $B(-3;-5)$:
$(-3-1{)}^2+(-5+5{)}^2=(-4{)}^2+0^2=16+0=16$
Оскільки $16=16$, то точка $B$ лежить на колі.

3. Перевірка точки $C(-2;-7)$:
$(-2-1{)}^2+(-7+5{)}^2=(-3{)}^2+(-2{)}^2=9+4=13$
Оскільки $13<16$, то точка $C$ лежить усередині круга, обмеженого цим колом.

4. Перевірка точки $D(5;1)$:
$(5-1{)}^2+(1+5{)}^2=4^2+6^2=16+36=52$
Оскільки $52>16$, то точка $D$ лежить поза кругом, обмеженим цим колом.

Відповідь:

1) Усередині круга: точка $C(-2;-7)$.

2) На колі: точка $B(-3;-5)$.

3) Поза кругом: точки $A(4;-2)$ та $D(5;1)$.