Завдання № 4.24. § 4. Рівняння кола (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Складіть рівняння кола радіуса $5$, що проходить через точку $B(-4;2)$ і центр якого лежить на осі ординат.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення координат центра кола

Рівняння кола з центром у точці $O(a;b)$ і радіусом $R$ має вигляд:
$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$

За умовою задачі радіус кола $R=5$, а центр лежить на осі ординат ($Oy$). Будь-яка точка на осі ординат має абсцису $x=0$. Отже, координати центра кола можна записати як $O(0;y_0)$.

Тоді рівняння шуканого кола набуває вигляду:
$(x-0{)}^2+(y-y_0{)}^2=5^2⟹x^2+(y-y_0{)}^2=25$

2. Знаходження можливих значень ординати центра

Оскільки коло проходить через точку $B(-4;2)$, координати цієї точки повинні задовольняти рівняння кола. Підставимо $x=-4$ та $y=2$:

$(-4{)}^2+(2-y_0{)}^2=25$
$16+(2-y_0{)}^2=25$
$(2-y_0{)}^2=25-16$
$(2-y_0{)}^2=9$

Розв’яжемо отримане квадратне рівняння, розбивши його на два випадки:
$2-y_0=3\text{або}2-y_0=-3$

Звідси отримуємо два значення ординати:
$y_0=2-3=-1$
$y_0=2-(-3)=5$

Таким чином, умовам задачі відповідають два можливих центри кола:
$O_1(0;-1)\text{та}{O}_2(0;5)$

3. Складання рівнянь знайдених кіл

Підставимо отримані координати центрів у загальне рівняння кола:

1) Для центра $O_1(0;-1)$:
$(x-0{)}^2+(y-(-1){)}^2=5^2⟹x^2+(y+1{)}^2=25$

2) Для центра $O_2(0;5)$:
$(x-0{)}^2+(y-5{)}^2=5^2⟹x^2+(y-5{)}^2=25$

Геометрична ілюстрація розв’язку:

Відповідь:
$x^2+(y+1{)}^2=25$ або $x^2+(y-5{)}^2=25$