Завдання № 4.23. § 4. Рівняння кола (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Складіть рівняння кола радіуса $10$, що проходить через точку $A(5;-8)$ і центр якого лежить на осі абсцис.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз положення центра та загального вигляду рівняння кола

Рівняння кола із центром у точці $O(x_0;y_0)$ і радіусом $R$ має вигляд:
$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$

За умовою центр кола належить осі абсцис ($Ox$), отже, його ордината дорівнює нулю: $y_0=0$.
Таким чином, координати центра мають вигляд $O(x_0;0)$, а радіус кола $R=10$.

Рівняння шуканого кола набуває вигляду:
$(x-x_0{)}^2+y^2=10^2$
$(x-x_0{)}^2+y^2=100$

2. Знаходження абсциси центра кола

Оскільки коло проходить через точку $A(5;-8)$, її координати задовольняють рівняння кола (або, іншими словами, відстань від центра $O$ до точки $A$ дорівнює радіусу: $OA=R=10$).

Підставимо координати точки $A(5;-8)$ у рівняння:
$(5-x_0{)}^2+(-8{)}^2=100$
$(5-x_0{)}^2+64=100$
$(5-x_0{)}^2=100-64$
$(5-x_0{)}^2=36$

Звідси маємо два випадки:
$5-x_0=6\text{або}5-x_0=-6$
$x_0=5-6=-1\text{або}{x}_0=5-(-6)=11$

Отже, існують дві точки на осі абсцис, які можуть бути центром кола:
$O_1(-1;0)$ та $O_2(11;0)$.

3. Складання рівнянь кіл

• Для центра $O_1(-1;0)$:
  $(x-(-1){)}^2+(y-0{)}^2=10^2⟹(x+1{)}^2+y^2=100$

• Для центра $O_2(11;0)$:
  $(x-11{)}^2+(y-0{)}^2=10^2⟹(x-11{)}^2+y^2=100$

4. Графічна ілюстрація

Відповідь:
$(x+1{)}^2+y^2=100$ або $(x-11{)}^2+y^2=100$.