Завдання № 4.21. § 4. Рівняння кола (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть відстань між центрами кіл, які задано рівняннями $x^2+y^2-4y=0$ і $x^2+y^2+2x-8y-7=0$.

Покроковий розв’язок:

Рівняння кола з центром у точці $O(a;b)$ та радіусом $R$ має вигляд:
$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$

1. Знаходження координат центра першого кола

Перетворимо рівняння $x^2+y^2-4y=0$, виділивши повний квадрат для змінної $y$:
$x^2+(y^2-2\cdot y\cdot 2+2^2)-2^2=0$
$(x-0{)}^2+(y-2{)}^2=4$

Звідси центр першого кола — точка $O_1(0;2)$.

2. Знаходження координат центра другого кола

Перетворимо рівняння $x^2+y^2+2x-8y-7=0$, згрупувавши доданки зі змінними $x$ та $y$ й виділивши повні квадрати:
$(x^2+2\cdot x\cdot 1+1^2)-1+(y^2-2\cdot y\cdot 4+4^2)-16-7=0$
$(x+1{)}^2+(y-4{)}^2-24=0$
$(x+1{)}^2+(y-4{)}^2=24$

Звідси центр другого кола — точка $O_2(-1;4)$.

3. Обчислення відстані між центрами кіл

За формулою відстані між двома точками на площині:
$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

Підставимо координати знайдених точок $O_1(0;2)$ та $O_2(-1;4)$:
$O_1{O}_2=\sqrt{(-1-0{)}^2+(4-2{)}^2}=\sqrt{(-1{)}^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$

Відповідь: $\sqrt{5}$