Завдання № 4.20. § 4. Рівняння кола (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Знайдіть центр і радіус кола, заданого рівнянням:

1) $x^2+y^2+4x-10y-7=0$;

2) $x^2-12x+y^2-5=0$.

Покроковий розв’язок:

Рівняння кола із центром у точці з координатами $(a;b)$ і радіусом $R$ має вигляд:
$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$

Для визначення координат центра й радіуса кола перетворимо задані рівняння, виділивши повні квадрати двочленів за формулами $(u+v{)}^2=u^2+2\cdot u\cdot v+v^2$ та $(u-v{)}^2=u^2-2\cdot u\cdot v+v^2$.

1. Розв’язання для першого рівняння

Згрупуємо доданки зі змінними $x$ та $y$:
$(x^2+4x)+(y^2-10y)-7=0$

Виділимо повні квадрати:

• для $x$: $x^2+4x=x^2+2\cdot x\cdot 2+2^2-4=(x+2{)}^2-4$;
• для $y$: $y^2-10y=y^2-2\cdot y\cdot 5+5^2-25=(y-5{)}^2-25$.

Підставимо отримані вирази в рівняння:
$(x+2{)}^2-4+(y-5{)}^2-25-7=0$
$(x+2{)}^2+(y-5{)}^2-36=0$
$(x+2{)}^2+(y-5{)}^2=36$

Оскільки $36=6^2$, а $(x+2{)}^2=(x-(-2){)}^2$, маємо:

• координати центра кола: $(-2;5)$;
• радіус кола: $R=\sqrt{36}=6$.

2. Розв’язання для другого рівняння

Згрупуємо доданки зі змінною $x$:
$(x^2-12x)+y^2-5=0$

Виділимо повний квадрат для змінної $x$:
$x^2-12x=x^2-2\cdot x\cdot 6+6^2-36=(x-6{)}^2-36$

Підставимо у початкове рівняння:
$(x-6{)}^2-36+y^2-5=0$
$(x-6{)}^2+y^2-41=0$
$(x-6{)}^2+(y-0{)}^2=41$

Оскільки $41=(\sqrt{41}{)}^2$, отримуємо:

• координати центра кола: $(6;0)$;
• радіус кола: $R=\sqrt{41}$.

Відповідь:

1) Центр кола: $(-2;5)$, радіус: $R=6$;

2) Центр кола: $(6;0)$, радіус: $R=\sqrt{41}$.