Завдання № 4.19. § 4. Рівняння кола (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть центр і радіус кола, заданого рівнянням:

1) $x^2+y^2-2x+6y-6=0$;

2) $x^2+10x+y^2-12y=0$.

Покроковий розв’язок:

Рівняння кола із центром у точці $O(a;b)$ і радіусом $R$ має вигляд:
$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$

Щоб знайти координати центра кола та його радіус, зведемо кожне з поданих рівнянь до цього канонічного вигляду шляхом виділення повних квадратів для змінних $x$ та $y$.

1. Розв’язання для першого рівняння:
$x^2+y^2-2x+6y-6=0$

Згрупуємо доданки, що містять змінні $x$ та $y$:
$(x^2-2x)+(y^2+6y)-6=0$

Доповнимо вирази в дужках до повних квадратів за формулами скороченого множення:

• для $x^2-2\cdot x\cdot 1$ додамо та віднімемо $1^2=1$;
• для $y^2+2\cdot y\cdot 3$ додамо та віднімемо $3^2=9$.

Отримуємо:
$(x^2-2x+1)-1+(y^2+6y+9)-9-6=0$

Згорнемо повні квадрати та зведемо подібні доданки:
$(x-1{)}^2+(y+3{)}^2-16=0$
$(x-1{)}^2+(y-(-3){)}^2=16$

Оскільки $16=4^2$, центр кола має координати $O(1;-3)$, а радіус дорівнює $R=4$.

2. Розв’язання для другого рівняння:
$x^2+10x+y^2-12y=0$

Згрупуємо відповідні доданки:
$(x^2+10x)+(y^2-12y)=0$

Виділимо повні квадрати:

• для $x^2+2\cdot x\cdot 5$ додамо та віднімемо $5^2=25$;
• для $y^2-2\cdot y\cdot 6$ додамо та віднімемо $6^2=36$.

Отримуємо:
$(x^2+10x+25)-25+(y^2-12y+36)-36=0$

Згорнемо повні квадрати та перенесемо числові доданки у праву частину рівняння:
$(x+5{)}^2+(y-6{)}^2-61=0$
$(x-(-5){)}^2+(y-6{)}^2=61$

Оскільки $61=(\sqrt{61}{)}^2$, центр кола має координати $O(-5;6)$, а радіус дорівнює $R=\sqrt{61}$.

Відповідь:

1) центр $O(1;-3)$, радіус $R=4$;

2) центр $O(-5;6)$, радіус $R=\sqrt{61}$.