Завдання № 4.18. § 4. Рівняння кола (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У Європейських математичних олімпіадах серед дівчат бере участь команда із $4$ учасниць від кожної країни. Нехай $O (x_{1}; y_{1})$ — центр кола, заданого рівнянням $x^{2} - 6 x + y^{2} - 2 y + 5 = 0$ . Знайдіть координати точки $O$ , відтак дізнаєтеся: $x_{1}$ — кількість золотих медалей, $y_{1}$ — кількість срібних медалей, які здобула збірна України на олімпіаді $2024$ р.

Покроковий розв’язок:

1. Зведення рівняння кола до канонічного вигляду

Канонічне рівняння кола з центром у точці $(a; b)$ і радіусом $R$ має вигляд:

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

Перетворимо початкове рівняння за допомогою методу виділення повного квадрата для змінних $x$ та $y$ :

x^{2} - 6 x + y^{2} - 2 y + 5 = 0

Згрупуємо доданки за змінними:

(x^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x) + (y^{2} - 2 \cdot 1 \cdot y) + 5 = 0

Доповнимо вирази у дужках до повних квадратів двочленів, додавши й віднявши відповідні числа:

(x^{2} - 6 x + 3^{2}) - 3^{2} + (y^{2} - 2 y + 1^{2}) - 1^{2} + 5 = 0

Застосуємо формулу квадрата різниці $(u - v)^{2} = u^{2} - 2 uv + v^{2}$ :

(x - 3)^{2} - 9 + (y - 1)^{2} - 1 + 5 = 0

Зведемо подібні числові доданки:

(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} - 5 = 0 (x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 5

2. Визначення координат центра кола та кількості медалей

З отриманого канонічного рівняння $(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = (5)^{2}$ випливає, що центр кола міститься в точці $O (3; 1)$ .

За умовою координати центра кола $O (x_{1}; y_{1})$ відповідають кількості медалей:

x_{1} = 3, y_{1} = 1

Отже, українські школярки вибороли $3$ золоті та $1$ срібну медаль.

Відповідь:
$O (3; 1)$ ; $3$ золоті та $1$ срібна медаль.

Завдання № 4.18. § 4. Рівняння кола (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку