Завдання № 4.14. § 4. Рівняння кола (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Складіть рівняння кола, для якого відрізок $AB$ є діаметром, якщо $A(3;-5)$, $B(-3;3)$.

Покроковий розв’язок:

Рівняння кола із центром у точці $O(x_0;y_0)$ і радіусом $R$ має вигляд:
$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$

1. Знаходження координат центра кола
Оскільки відрізок $AB$ є діаметром кола, то центр кола — точка $O(x_0;y_0)$ — є серединою цього відрізка. За формулами координат середини відрізка:
$x_0=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{3+(-3)}{2}=\frac{0}{2}=0$
$y_0=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{-5+3}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

Отже, центр кола знаходиться в точці $O(0;-1)$.

2. Обчислення радіуса кола
Радіус кола $R$ дорівнює відстані від центра $O$ до будь-якої точки на колі (наприклад, до точки $A$ або $B$), тобто довжині відрізка $OA$:
$R^2=O{A}^2=(x_A-x_0{)}^2+(y_A-y_0{)}^2$
$R^2=(3-0{)}^2+(-5-(-1){)}^2=3^2+(-4{)}^2=9+16=25$

Звідси радіус кола:
$R=\sqrt{25}=5$

3. Складання рівняння кола
Підставимо координати центра $O(0;-1)$ та значення $R^2=25$ у загальне рівняння кола:
$(x-0{)}^2+(y-(-1){)}^2=5^2$
$x^2+(y+1{)}^2=25$

Відповідь:
$x^2+(y+1{)}^2=25$