Завдання № 39. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
На сторонах $BC$ і $CD$ квадрата $ABCD$ взято відповідно точки $M$ і $N$ так, що $BM=\frac{1}{2}BC$ і $DN=\frac{1}{3}DC$. Доведіть, що $\angle MAN=45^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

<svg viewBox="0 0 340 340" style="max-width: 340px; width: 100%; height: auto; display: block; margin: 16px auto; background: #ffffff; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; box-shadow: 0 2px 8px rgba(0,0,0,0.04);">
  <polygon points="50,270 270,270 270,50 50,50" fill="#f8fafc" stroke="#1e293b" stroke-width="2"/>
  <polygon points="50,270 270,160 123.33,50" fill="#eff6ff" stroke="none"/>
  <line x1="50" y1="270" x2="270" y2="160" stroke="#b91c1c" stroke-width="2"/>
  <line x1="50" y1="270" x2="123.33" y2="50" stroke="#b91c1c" stroke-width="2"/>
  <line x1="123.33" y1="50" x2="270" y2="160" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
  <path d="M 75,257.5 A 30 30 0 0 0 65,225" fill="#fecaca" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5"/>
  <circle cx="50" cy="270" r="4" fill="#0f172a"/>
  <circle cx="270" cy="270" r="4" fill="#0f172a"/>
  <circle cx="270" cy="50" r="4" fill="#0f172a"/>
  <circle cx="50" cy="50" r="4" fill="#0f172a"/>
  <circle cx="270" cy="160" r="4" fill="#0f172a"/>
  <circle cx="123.33" cy="50" r="4" fill="#0f172a"/>
  <text x="32" y="288" font-family="system-ui, -apple-system, sans-serif" font-size="15" font-weight="600" fill="#0f172a">A</text>
  <text x="276" y="288" font-family="system-ui, -apple-system, sans-serif" font-size="15" font-weight="600" fill="#0f172a">B</text>
  <text x="276" y="44" font-family="system-ui, -apple-system, sans-serif" font-size="15" font-weight="600" fill="#0f172a">C</text>
  <text x="32" y="44" font-family="system-ui, -apple-system, sans-serif" font-size="15" font-weight="600" fill="#0f172a">D</text>
  <text x="280" y="165" font-family="system-ui, -apple-system, sans-serif" font-size="15" font-weight="600" fill="#0f172a">M</text>
  <text x="118" y="40" font-family="system-ui, -apple-system, sans-serif" font-size="15" font-weight="600" fill="#0f172a">N</text>
  <text x="75" y="240" font-family="system-ui, -apple-system, sans-serif" font-size="13" font-weight="600" fill="#b91c1c">45°</text>
</svg>

1. Вираження відрізків через сторону квадрата

Нехай сторона квадрата $ABCD$ дорівнює $x$, тобто:
$AB=BC=CD=AD=x$

Оскільки точка $M$ лежить на стороні $BC$, а точка $N$ — на стороні $CD$, знайдемо відповідні відрізки:

• Для точки $M$:
  $BM=\frac{1}{2}x$
  $MC=BC-BM=x-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x$

• Для точки $N$:
  $DN=\frac{1}{3}x$
  $CN=CD-DN=x-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}x$

2. Обчислення сторін трикутника $AMN$

Всі кути квадрата дорівнюють $90^{\circ }$, тому трикутники $△ABM$, $△ADN$ та $△MCN$ є прямокутними. За теоремою Піфагора знайдемо квадрати сторін трикутника $△AMN$:

• З прямокутного трикутника $△ABM$ ($\angle B=90^{\circ }$):
  $A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2=x^2+{\left(\frac{1}{2}x\right)}^2=x^2+\frac{1}{4}{x}^2=\frac{5}{4}{x}^2$
  $AM=\sqrt{\frac{5}{4}{x}^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}x$

• З прямокутного трикутника $△ADN$ ($\angle D=90^{\circ }$):
  $A{N}^2=A{D}^2+D{N}^2=x^2+{\left(\frac{1}{3}x\right)}^2=x^2+\frac{1}{9}{x}^2=\frac{10}{9}{x}^2$
  $AN=\sqrt{\frac{10}{9}{x}^2}=\frac{\sqrt{10}}{3}x$

• З прямокутного трикутника $△MCN$ ($\angle C=90^{\circ }$):
  $M{N}^2=M{C}^2+C{N}^2={\left(\frac{1}{2}x\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}x\right)}^2=\frac{1}{4}{x}^2+\frac{4}{9}{x}^2$
  Зведемо дроби до спільного знаменника $36$:
  $M{N}^2=\frac{9+16}{36}{x}^2=\frac{25}{36}{x}^2$

3. Знаходження кута $MAN$ за теоремою косинусів

Застосуємо теорему косинусів для сторони $MN$ у трикутнику $△AMN$:
$M{N}^2=A{M}^2+A{N}^2-2\cdot AM\cdot AN\cdot \cos \angle MAN$

Звідси виразимо $\cos \angle MAN$:
$\cos \angle MAN=\frac{A{M}^2+A{N}^2-M{N}^2}{2\cdot AM\cdot AN}$

Підставимо знайдені значення:
$\cos \angle MAN=\frac{\frac{5}{4}{x}^2+\frac{10}{9}{x}^2-\frac{25}{36}{x}^2}{2\cdot \frac{\sqrt{5}}{2}x\cdot \frac{\sqrt{10}}{3}x}$

Спростимо чисельник, звівши до спільного знаменника $36$:
$\frac{5}{4}{x}^2+\frac{10}{9}{x}^2-\frac{25}{36}{x}^2=\frac{5\cdot 9+10\cdot 4-25}{36}{x}^2=\frac{45+40-25}{36}{x}^2=\frac{60}{36}{x}^2=\frac{5}{3}{x}^2$

Спростимо знаменник:
$2\cdot \frac{\sqrt{5}}{2}x\cdot \frac{\sqrt{10}}{3}x=\frac{\sqrt{50}}{3}{x}^2=\frac{5\sqrt{2}}{3}{x}^2$

Обчислимо косинус:
$\cos \angle MAN=\frac{\frac{5}{3}{x}^2}{\frac{5\sqrt{2}}{3}{x}^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Оскільки в трикутнику кут лежить у межах від $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$, то:
$\cos \angle MAN=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹\angle MAN=45^{\circ }$

Твердження повністю доведено.

Відповідь:
Доведено, що $\angle MAN=45^{\circ }$.