Завдання № 39. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У скільки разів треба збільшити:

1) радіус основи циліндра (не змінюючи висоту);

2) висоту циліндра (не змінюючи радіус основи),
щоб об’єм циліндра збільшився у $16$ разів?

Покроковий розв’язок:
Об’єм циліндра обчислюється за формулою:
$V=\pi \cdot R^2\cdot H$
де $R$ — радіус основи циліндра, $H$ — його висота.

1. Збільшення радіуса основи циліндра
Нехай радіус основи збільшили у $k$ разів ($k>0$), а висота $H$ залишилася незмінною. Тоді новий радіус дорівнює $R_1=k\cdot R$.

Знайдемо новий об’єм циліндра $V_1$:
$V_1=\pi \cdot R_1^2\cdot H=\pi \cdot (k\cdot R{)}^2\cdot H=k^2\cdot \pi \cdot R^2\cdot H=k^2\cdot V$

За умовою об’єм має збільшитися у $16$ разів, тобто $V_1=16\cdot V$. Складаємо рівняння:
$k^2\cdot V=16\cdot V$
$k^2=16$
Оскільки коефіцієнт збільшення є додатним числом ($k>0$):
$k=\sqrt{16}=4$

Отже, радіус основи циліндра потрібно збільшити у $4$ рази.

2. Збільшення висоти циліндра
Нехай висоту циліндра збільшили у $m$ разів ($m>0$), а радіус основи $R$ залишився незмінним. Тоді нова висота становить $H_1=m\cdot H$.

Знайдемо новий об’єм циліндра $V_2$:
$V_2=\pi \cdot R^2\cdot H_1=\pi \cdot R^2\cdot (m\cdot H)=m\cdot (\pi \cdot R^2\cdot H)=m\cdot V$

За умовою новий об’єм має бути у $16$ разів більшим за початковий, тобто $V_2=16\cdot V$. Отримуємо:
$m\cdot V=16\cdot V$
$m=16$

Отже, висоту циліндра потрібно збільшити у $16$ разів.

Відповідь:

1) у $4$ рази;

2) у $16$ разів.