Завдання № 39. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Спортивний літак летить за замкненим маршрутом, траєкторія якого має форму трикутника з двома кутами $100^{\circ }$ і $50^{\circ }$. Відстань, що є довжиною сторони, яка лежить проти третього кута, літак долає за $1\text{ год}$. За який час літак подолає весь маршрут, якщо його швидкість є сталою? Відповідь округліть до хвилин.

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична модель руху та визначення третього кута

Нехай траєкторія руху літака утворює трикутник $△ABC$. За умовою задачі відомо два кути трикутника:

Оскільки сума кутів будь-якого трикутника дорівнює $180^{\circ }$, знайдемо величину третього кута $\angle C$:

Сторона, що лежить проти третього кута $\angle C$, — це сторона $AB$.

2. Вираження сторін маршруту за теоремою синусів

Нехай довжина сторони $AB=x$. За умовою літак долає її за час $t_1=1\text{ год}$. Оскільки швидкість польоту $v$ є сталою, то:

Для знаходження довжин сторін $AC$ і $BC$ скористаємося теоремою синусів:

Підставимо відомі значення кутів та сторону $AB=x$:

Значення тригонометричних функцій:
$\sin 30^{\circ }=0,5$, $\sin 50^{\circ }\approx 0,766$, $\sin 100^{\circ }=\sin (180^{\circ }-80^{\circ })=\sin 80^{\circ }\approx 0,985$.

Звідси виразимо сторони $AC$ та $BC$:

3. Розрахунок периметра маршруту та часу польоту

Загальна довжина замкненого маршруту дорівнює периметру трикутника $P$:

Час, необхідний для подолання всього маршруту зі сталою швидкістю $v=x$:

Переведемо десяткову частину годин у хвилини:

Отже, весь маршрут літак подолає приблизно за $4\text{ год }30\text{ хв}$.

Відповідь:
$4\text{ год }30\text{ хв}$.