Завдання № 39. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$, де $M$ — точка перетину медіан трикутника $ABC$.

Покроковий розв’язок:

1. Вираження суми двох векторів через вектор медіани

Нехай точка $N$ — середина сторони $BC$. Тоді відрізок $AN$ є медіаною трикутника $△ABC$, а відрізок $MN$ є медіаною трикутника $△BMC$, проведеною з вершини $M$ до сторони $BC$.

За властивістю медіани трикутника у векторній формі (або за правилом паралелограма для додавання векторів):

Помножимо обидві частини рівності на $2$:

2. Зв’язок між векторами $\overrightarrow{MA}$ та $\overrightarrow{MN}$

За теоремою про точку перетину медіан трикутника, медіани перетинаються в одній точці $M$ і діляться нею у відношенні $2:1$, рахуючи від вершини:

Точка $M$ лежить на відрізку $AN$ між точками $A$ та $N$. Отже, вектори $\overrightarrow{MA}$ та $\overrightarrow{MN}$ лежать на одній прямій, але напрямлені в протилежні боки ($\overrightarrow{MA}\uparrow \downarrow \overrightarrow{MN}$).

З урахуванням їхніх довжин $|\overrightarrow{MA}|=2|\overrightarrow{MN}|$ отримуємо рівність:

3. Знаходження суми трьох векторів

Підставимо отримані вирази у вихідну суму:

Рівність доведено.

Відповідь:
Доведено, що $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$.