Завдання № 38. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Кут при вершині $C$ рівнобедреного трикутника $A B C$ у 4 рази більший за кут при основі. На стороні $A B$ взято точку $M$ таку, що $A M : M B = 1 : 2$ . Знайдіть $∠ A C M$ .

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження кутів трикутника $△ A B C$

Оскільки трикутник $△ A B C$ є рівнобедреним з основою $A B$ , то бічні сторони рівні: $A C = B C$ , а кути при основі рівні між собою: $∠ A = ∠ B$ .

Нехай градусна міра кута при основі дорівнює $x$ , тобто $∠ A = ∠ B = x$ .
За умовою, кут при вершині $C$ у 4 рази більший за кут при основі, тому $∠ C = 4 x$ .

Оскільки сума кутів будь-якого трикутника дорівнює $18 0^{\circ}$ , маємо:

x + x + 4 x = 18 0^{\circ} 6 x = 18 0^{\circ} x = 3 0^{\circ}

Отже, кути трикутника становлять:
$∠ A = ∠ B = 3 0^{\circ}$ , а $∠ C = 4 \cdot 3 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ .

2. Вираження сторін трикутника $△ A B C$

Нехай довжина бічної сторони дорівнює $a$ :
$A C = B C = a$

Застосуємо теорему косинусів для трикутника $△ A B C$ , щоб знайти основу $A B$ :
$A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A C \cdot B C \cdot cos 12 0^{\circ}$

Враховуючи, що $cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ :

A B^{2} = a^{2} + a^{2} - 2 \cdot a \cdot a \cdot (- \frac{1}{2}) A B^{2} = 2 a^{2} + a^{2} = 3 a^{2} A B = a 3

3. Знаходження довжини відрізка $A M$

Точка $M$ ділить сторону $A B$ у відношенні $A M : M B = 1 : 2$ .
Це означає, що весь відрізок $A B$ складається з $1 + 2 = 3$ рівних частин, а відрізок $A M$ становить одну третину від $A B$ :
$A M = \frac{1}{3} A B = \frac{a 3}{3}$

4. Обчислення сторони $C M$ у трикутнику $△ A C M$

Розглянемо трикутник $△ A C M$ . У ньому відомі дві сторони та кут між ними:
$A C = a$ , $A M = \frac{a 3}{3}$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ .

За теоремою косинусів:
$C M^{2} = A C^{2} + A M^{2} - 2 \cdot A C \cdot A M \cdot cos 3 0^{\circ}$

Підставимо відомі значення, враховуючи, що $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ :

C M^{2} = a^{2} + (\frac{a 3}{3})^{2} - 2 \cdot a \cdot \frac{a 3}{3} \cdot \frac{3}{2} C M^{2} = a^{2} + \frac{3 a ^{2}}{9} - \frac{3 a ^{2}}{3} C M^{2} = a^{2} + \frac{a ^{2}}{3} - a^{2} = \frac{a ^{2}}{3} C M = \frac{a ^{2}}{3} = \frac{a}{3} = \frac{a 3}{3}

5. Знаходження шуканого кута $∠ A C M$

Ми отримали, що $A M = \frac{a 3}{3}$ та $C M = \frac{a 3}{3}$ .

Отже, $A M = C M$ , звідки випливає, що трикутник $△ A C M$ є рівнобедреним з основою $A C$ .

За властивістю рівнобедреного трикутника, кути при його основі рівні:
$∠ A C M = ∠ C A M = ∠ A = 3 0^{\circ}$

Відповідь:
$3 0^{\circ}$

Завдання № 38. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку