Завдання № 38. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Розв’яжіть трикутник $A B C$ , якщо:

1) $B C = 10 см$ , $A C = 15 см$ , $C M$ — медіана, $C M = 11 см$ ;

2) $B C = 12 см$ , $A H$ — висота, $A H = 6 см$ , $A M$ — медіана, $A M = 10 см$ .

Покроковий розв’язок:

Пункт 1

1. Знаходження сторони $A B$

За формулою довжини медіани трикутника (або за теоремою про зв’язок між медіаною та сторонами трикутника):
$m_{c} = \frac{1}{2} 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}$
Піднесемо обидві частини рівності до квадрата:
$4 \cdot C M^{2} = 2 \cdot B C^{2} + 2 \cdot A C^{2} - A B^{2}$
Звідси виразимо $A B^{2}$ :
$A B^{2} = 2 \cdot (B C^{2} + A C^{2}) - 4 \cdot C M^{2}$
Підставимо числові дані:
$A B^{2} = 2 \cdot (1 0^{2} + 1 5^{2}) - 4 \cdot 1 1^{2} = 2 \cdot (100 + 225) - 4 \cdot 121 = 2 \cdot 325 - 484 = 650 - 484 = 166$
$A B = 166 \approx 12, 9 см$

2. Обчислення кутів трикутника

За теоремою косинусів для сторони $B C$ :
$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C \cdot cos ∠ A$
$cos ∠ A = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C}$
$cos ∠ A = \frac{166 + 1 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 12 , 9 \cdot 15} = \frac{166 + 225 - 100}{387} = \frac{291}{387} \approx 0, 7519$
Звідси:
$∠ A \approx 4 1^{\circ}$

За теоремою косинусів для сторони $A C$ :
$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos ∠ B$
$cos ∠ B = \frac{A B ^{2} + B C ^{2} - A C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot B C}$
$cos ∠ B = \frac{166 + 1 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 12 , 9 \cdot 10} = \frac{166 + 100 - 225}{258} = \frac{41}{258} \approx 0, 1589$
Звідси:
$∠ B \approx 8 1^{\circ}$

За теоремою про суму кутів трикутника:
$∠ C = 18 0^{\circ} - (∠ A + ∠ B) \approx 18 0^{\circ} - (4 1^{\circ} + 8 1^{\circ}) = 5 8^{\circ}$

Пункт 2

1. Визначення взаємного розташування точок на прямій $B C$

Оскільки $A M$ — медіана, проведена до сторони $B C$ , то точка $M$ є серединою відрізка $B C$ :
$B M = M C = \frac{B C}{2} = \frac{12}{2} = 6 см$

Розглянемо прямокутний трикутник $A H M$ ( $∠ A H M = 9 0^{\circ}$ ). За теоремою Піфагора:
$M H = A M^{2} - A H^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64 = 8 см$

Оскільки $M H = 8 см$ , а $M B = 6 см$ ( $M H > M B$ ), висота $A H$ лежить зовні трикутника $A B C$ на продовженні сторони $B C$ за точку $B$ . Тоді:
$B H = M H - B M = 8 - 6 = 2 см$
$C H = C M + M H = 6 + 8 = 14 см$

2. Знаходження невідомих сторін $A B$ і $A C$

Із прямокутного трикутника $A B H$ ( $∠ A H B = 9 0^{\circ}$ ) за теоремою Піфагора:
$A B = A H^{2} + B H^{2} = 6^{2} + 2^{2} = 36 + 4 = 40 = 210 \approx 6, 3 см$

Із прямокутного трикутника $A C H$ ( $∠ A H C = 9 0^{\circ}$ ) за теоремою Піфагора:
$A C = A H^{2} + C H^{2} = 6^{2} + 1 4^{2} = 36 + 196 = 232 = 258 \approx 15, 2 см$

3. Обчислення кутів трикутника

Знайдемо $∠ C$ із прямокутного трикутника $A C H$ :
$sin ∠ C = \frac{A H}{A C} = \frac{6}{2 58} \approx 0, 3939$
$∠ C \approx 2 3^{\circ} 1 2^{'}$

Знайдемо гострий кут $∠ A B H$ із прямокутного трикутника $A B H$ :
$sin ∠ A B H = \frac{A H}{A B} = \frac{6}{2 10} \approx 0, 9487$
$∠ A B H \approx 7 1^{\circ} 3 4^{'}$

Оскільки кут $∠ A B C$ та кут $∠ A B H$ є суміжними:
$∠ A B C = 18 0^{\circ} - ∠ A B H \approx 18 0^{\circ} - 7 1^{\circ} 3 4^{'} = 10 8^{\circ} 2 6^{'}$

За теоремою про суму кутів трикутника:
$∠ A = 18 0^{\circ} - (∠ A B C + ∠ C) \approx 18 0^{\circ} - (10 8^{\circ} 2 6^{'} + 2 3^{\circ} 1 2^{'}) = 4 8^{\circ} 2 2^{'}$

Відповідь:

1) $A B \approx 12, 9 см$ , $∠ A \approx 4 1^{\circ}$ , $∠ B \approx 8 1^{\circ}$ , $∠ C \approx 5 8^{\circ}$ ;

2) $A B \approx 6, 3 см$ , $A C \approx 15, 2 см$ , $∠ A \approx 4 8^{\circ} 2 2^{'}$ , $∠ B \approx 10 8^{\circ} 2 6^{'}$ , $∠ C \approx 2 3^{\circ} 1 2^{'}$ .

Завдання № 38. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку