Завдання № 38. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Відомо, що $a = 3 c - 5 d$ та $b = 2 c - 3 d$ . Знайдіть координати векторів $c$ і $d$ , якщо $a (- 3; 8)$ , $b (- 1; 6)$ .

Покроковий розв’язок:

1. Складання векторної системи рівнянь

За умовою задачі маємо систему лінійних векторних рівнянь:

{3 c - 5 d = a 2 c - 3 d = b

Підставимо відомі координати векторів $a (- 3; 8)$ та $b (- 1; 6)$ :

{3 c - 5 d = (- 3; 8) 2 c - 3 d = (- 1; 6)

2. Розв’язання системи методом лінійного комбінування

Для виключення вектора $c$ помножимо перше рівняння на $2$ , а друге — на $3$ :

{6 c - 10 d = 2 \cdot (- 3; 8) 6 c - 9 d = 3 \cdot (- 1; 6) ⟹ {6 c - 10 d = (- 6; 16) 6 c - 9 d = (- 3; 18)

Віднімемо почленно від другого рівняння перше:

(6 c - 9 d) - (6 c - 10 d) = (- 3 - (- 6); 18 - 16)

d = (3; 2)

3. Знаходження вектора $c$

Підставимо знайдений вектор $d (3; 2)$ у друге рівняння початкової системи:

2 c - 3 d = (- 1; 6)

2 c - 3 \cdot (3; 2) = (- 1; 6)

2 c - (9; 6) = (- 1; 6)

Перенесемо вектор $(9; 6)$ у праву частину зі знаком « $+$ »:

2 c = (- 1 + 9; 6 + 6)

2 c = (8; 12)

Поділимо обидві координати на $2$ :

c = (\frac{8}{2}; \frac{12}{2}) = (4; 6)

Відповідь:
$c (4; 6)$ , $d (3; 2)$ .