Завдання № 38. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Обчисліть кути трикутника з вершинами в точках $A(4;-1)$, $B(-1;0)$, $C(2;2)$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження довжин сторін трикутника
Для обчислення довжин сторін скористаємося формулою відстані між двома точками $M(x_1;y_1)$ та $N(x_2;y_2)$:
$MN=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

Знайдемо довжину сторони $AB$:
$AB=\sqrt{(-1-4{)}^2+(0-(-1){)}^2}=\sqrt{(-5{)}^2+1^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$

Знайдемо довжину сторони $BC$:
$BC=\sqrt{(2-(-1){)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$

Знайдемо довжину сторони $AC$:
$AC=\sqrt{(2-4{)}^2+(2-(-1){)}^2}=\sqrt{(-2{)}^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$

2. Визначення виду трикутника
Порівняємо квадрати довжин сторін трикутника:
$A{B}^2=(\sqrt{26}{)}^2=26$
$B{C}^2=(\sqrt{13}{)}^2=13$
$A{C}^2=(\sqrt{13}{)}^2=13$

Перевіримо виконання теореми, оберненої до теореми Піфагора:
$B{C}^2+A{C}^2=13+13=26=A{B}^2$

Оскільки сума квадратів двох сторін дорівнює квадрату третьої сторони ($A{B}^2=B{C}^2+A{C}^2$), то за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, $△ABC$ є прямокутним із гіпотенузою $AB$.
Отже, кут, що лежить навпроти гіпотенузи:
$\angle C=90^{\circ }$

Також маємо, що $BC=AC=\sqrt{13}$, тому $△ABC$ є рівнобедреним із бічними сторонами $BC$ та $AC$ й основою $AB$.

3. Обчислення гострих кутів трикутника
За властивістю гострих кутів рівнобедреного прямокутного трикутника:
$\angle A=\angle B=\frac{180^{\circ }-90^{\circ }}{2}=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }$

Відповідь:
$\angle A=45^{\circ }$, $\angle B=45^{\circ }$, $\angle C=90^{\circ }$