Завдання № 37. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Усередині рівностороннього трикутника $ABC$ вибрано точку $M$ так, що $AM=1\text{ см}$, $BM=2\text{ см}$, а $\angle AMB=120^{\circ }$. Знайдіть довжину відрізка $CM$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження сторони рівностороннього трикутника

Розглянемо трикутник $ABM$. За теоремою косинусів знайдемо довжину сторони $AB$:
$A{B}^2=A{M}^2+B{M}^2-2\cdot AM\cdot BM\cdot \cos \angle AMB$

Підставимо числові значення ($AM=1\text{ см}$, $BM=2\text{ см}$, $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}=-0,5$):

$AB=\sqrt{7}\text{ см}$

Оскільки трикутник $ABC$ — рівносторонній, усі його сторони рівні, а кожен із внутрішніх кутів дорівнює $60^{\circ }$:
$AB=BC=AC=\sqrt{7}\text{ см},\angle B=60^{\circ }$

2. Обчислення косинуса кута $BAM$

Застосуємо теорему косинусів для сторони $BM$ у трикутнику $ABM$:
$B{M}^2=A{B}^2+A{M}^2-2\cdot AB\cdot AM\cdot \cos \angle BAM$

Виразимо $\cos \angle BAM$:
$\cos \angle BAM=\frac{A{B}^2+A{M}^2-B{M}^2}{2\cdot AB\cdot AM}$

Підставимо відомі значення:
$\cos \angle BAM=\frac{(\sqrt{7}{)}^2+1^2-2^2}{2\cdot \sqrt{7}\cdot 1}=\frac{7+1-4}{2\sqrt{7}}=\frac{4}{2\sqrt{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}$

3. Зв’язок між кутами $\angle BAM$ та $\angle MBC$

Нехай $\angle BAM=\alpha$. Сума кутів у трикутнику $ABM$ дорівнює $180^{\circ }$, тому:
$\angle ABM=180^{\circ }-\angle AMB-\angle BAM=180^{\circ }-120^{\circ }-\alpha =60^{\circ }-\alpha$

Оскільки кут рівностороннього трикутника $\angle ABC=60^{\circ }$, то кут $\angle MBC$ дорівнює:
$\angle MBC=\angle ABC-\angle ABM=60^{\circ }-(60^{\circ }-\alpha )=\alpha$

Отже, $\angle MBC=\angle BAM=\alpha$, звідки випливає:
$\cos \angle MBC=\cos \angle BAM=\frac{2}{\sqrt{7}}$

4. Знаходження шуканого відрізка $CM$

Розглянемо трикутник $MBC$. За теоремою косинусів для сторони $CM$:
$C{M}^2=B{M}^2+B{C}^2-2\cdot BM\cdot BC\cdot \cos \angle MBC$

Підставимо знайдені значення ($BM=2\text{ см}$, $BC=\sqrt{7}\text{ см}$, $\cos \angle MBC=\frac{2}{\sqrt{7}}$):

$CM=\sqrt{3}\text{ см}$

Відповідь: $\sqrt{3}\text{ см}$.