Завдання № 37. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано відрізок $AB$. За допомогою тільки циркуля і лінійки без поділок виконайте поворот навколо його середини на кут $135^{\circ }$ за годинниковою стрілкою.

Покроковий розв’язок:

Поворот навколо центра $O$ на кут $\alpha$ за годинниковою стрілкою переводить кожну точку $X$ у таку точку $X^{\prime }$, що $OX=O{X}^{\prime }$, а напрямлений кут $\angle XO{X}^{\prime }=\alpha$ (за годинниковою стрілкою). Оскільки поворот є рухом, образом відрізка $AB$ є рівний йому відрізок $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Тому достатньо знайти положення образів кінців відрізка — точок $A$ і $B$.

Кут повороту можна подати у вигляді суми базових кутів, які будуються циркулем і лінійкою:
$135^{\circ }=90^{\circ }+45^{\circ }$

1. Знаходження середини відрізка та побудова прямого кута:

• Встановимо голку циркуля в точку $A$ і проведемо дугу радіусом $R>\frac{AB}{2}$.
• Не змінюючи розхилу циркуля, проведемо аналогічну дугу з центра в точці $B$.
• Через точки перетину цих дуг проведемо пряму за допомогою лінійки. Ця пряма є серединним перпендикуляром до відрізка $AB$.
• Точка перетину цієї прямої з відрізком $AB$ є його серединою — точкою $O$.
• Промінь цього перпендикуляра, спрямований угору, позначимо $OK$. Тоді:
  $\angle AOK=90^{\circ },\angle KOB=90^{\circ }$

2. Побудова кута $45^{\circ }$ (бісектриси прямого кута):

• Побудуємо бісектрису кута $\angle KOB=90^{\circ }$ за допомогою циркуля та лінійки:
  • Проведемо коло з центром у точці $O$ довільного радіуса, яке перетинає промені $OK$ та $OB$.
  • З отриманих точок перетину однаковим радіусом зробимо дві засічки всередині кута $\angle KOB$.
  • Через точку їхнього перетину та вершину $O$ проведемо промінь $ON$.
• Промінь $ON$ ділить прямий кут навпіл:
  $\angle KON=\angle NOB=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }$

3. Побудова образу точки $A$:

• Кут між променем $OA$ та променем $ON$ за годинниковою стрілкою дорівнює:
  $\angle AON=\angle AOK+\angle KON=90^{\circ }+45^{\circ }=135^{\circ }$
• Циркулем виміряємо довжину відрізка $OA$ і відкладемо її від точки $O$ на промені $ON$. Отримаємо точку $N$ таку, що $ON=OA$.
• Точка $N$ є образом точки $A$ при заданому повороті.

4. Побудова образу точки $B$:

• Точки $A$, $O$ і $B$ лежать на одній прямій, причому $O$ — середина відрізка $AB$.
• Оскільки поворот зберігає відстані та колінеарність, образ точки $B$ (точка $Z$) повинен лежати на продовженні променя $NO$ за точку $O$, причому:
  $OZ=OB=ON$
• Лінійкою продовжимо промінь $NO$ у протилежний бік від точки $O$ та відкладемо на ньому відрізок $OZ=ON$.
• Точка $Z$ є образом точки $B$ (поворот променя $OB$ за годинниковою стрілкою на $135^{\circ }$ переводить його саме в промінь $OZ$, оскільки $180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }$).

5. Отримання шуканого відрізка:

• Сполучимо точки $N$ і $Z$. Відрізок $NZ$ є шуканим образом відрізка $AB$ при повороті навколо точки $O$ на $135^{\circ }$ за годинниковою стрілкою.

Відповідь:
Побудовано відрізок $NZ$, який є результатом повороту відрізка $AB$ навколо його середини $O$ на кут $135^{\circ }$ за годинниковою стрілкою (точка $A$ переходить у точку $N$, а точка $B$ — у точку $Z$).