Завдання № 37. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Бічна сторона рівнобічної трапеції дорівнює $10\text{ см}$. Кут між діагоналлю трапеції та бічною стороною дорівнює $60^{\circ }$, а між діагоналлю та основою — $40^{\circ }$. Знайдіть основи трапеції та її діагональ.

Покроковий розв’язок:

Нехай задано рівнобічну трапецію $ABCD$, де $BC\parallel AD$ — основи, а $AB=CD=10\text{ см}$ — бічні сторони. Проведемо діагональ $AC$.

За умовою кут між діагоналлю та бічною стороною $\angle ACD=60^{\circ }$, а кут між діагоналлю та більшою основою $\angle CAD=40^{\circ }$.

1. Знаходження кутів трикутника $ACD$:

Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює $180^{\circ }$. Розглянемо $△ACD$:

2. Обчислення довжин діагоналі $AC$ та основи $AD$:

За теоремою синусів у трикутнику $△ACD$:

Підставимо відомі значення ($CD=10\text{ см}$, $\angle CAD=40^{\circ }$, $\angle ACD=60^{\circ }$, $\angle D=80^{\circ }$):

Звідси знайдемо більшу основу $AD$:

Аналогічно знайдемо довжину діагоналі $AC$:

3. Знаходження меншої основи $BC$:

Оскільки трапеція $ABCD$ є рівнобічною, кути при її основі рівні:

Обчислимо кут $\angle BAC$:

Прямі $BC$ і $AD$ паралельні як основи трапеції, а $AC$ — їхня січна. Тоді внутрішні різносторонні кути рівні:

У трикутнику $△ABC$ отримали:

Отже, $△ABC$ — рівнобедрений з основою $AC$, звідки випливає рівність його бічних сторін:

Відповідь: $BC=10\text{ см}$, $AD\approx 13,5\text{ см}$, $AC\approx 15,3\text{ см}$.