Завдання № 37. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано ненульові вектори $\vec{a}$ і $\vec{b}$, для яких виконується рівність $2\vec{a}-3\vec{b}=4\vec{a}-9\vec{b}$. Доведіть, що вектори $\vec{a}$ і $\vec{b}$ колінеарні.

Покроковий розв’язок:

1. Спрощення векторного рівняння
Перенесемо доданки, що містять вектор $\vec{a}$, у ліву частину рівності, а доданки з вектором $\vec{b}$ — у праву частину (змінюючи знаки на протилежні за правилами розв’язування лінійних рівнянь):

Зведемо подібні доданки:

Поділимо обидві частини рівності на $-2$:

2. Застосування ознаки колінеарності векторів
За означенням та ознакою колінеарності, два ненульові вектори $\vec{a}$ та $\vec{b}$ є колінеарними тоді й тільки тоді, коли існує таке дійсне число $k\ne 0$, що:

У нашому випадку отримано рівність $\vec{a}=3\cdot \vec{b}$, де коефіцієнт $k=3$.

Оскільки $k>0$, вектори $\vec{a}$ та $\vec{b}$ є не лише колінеарними, а й співнапрямленими ($\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$), причому довжина вектора $\vec{a}$ утричі перевищує довжину вектора $\vec{b}$ ($|\vec{a}|=3\cdot |\vec{b}|$).

Отже, вектори $\vec{a}$ і $\vec{b}$ колінеарні, що й треба було довести.

Відповідь:
Доведено.