Завдання № 37. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що всі кути трикутника з вершинами в точках $A(0;4)$, $B(2;3)$ і $C(1;5)$ є гострими.

Покроковий розв’язок:

1. Обчислення квадратів довжин сторін трикутника

Використаємо формулу відстані між двома точками на координатній площині:
$d^2=(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2$

Знайдемо квадрати сторін $△ABC$:
$A{B}^2=(2-0{)}^2+(3-4{)}^2=2^2+(-1{)}^2=4+1=5$
$B{C}^2=(1-2{)}^2+(5-3{)}^2=(-1{)}^2+2^2=1+4=5$
$A{C}^2=(1-0{)}^2+(5-4{)}^2=1^2+1^2=1+1=2$

Отже, довжини сторін дорівнюють: $AB=\sqrt{5}$, $BC=\sqrt{5}$, $AC=\sqrt{2}$.

2. Дослідження виду кутів трикутника

За теоремою косинусів для довільного трикутника зі сторонами $a$, $b$, $c$ кут, що лежить проти сторони $c$, визначається за формулою:
$\cos \angle C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2\cdot a\cdot b}$

Знак косинуса кута залежить виключно від знака виразу $a^2+b^2-c^2$:

• Якщо $c^2<a^2+b^2$, то $\cos \angle C>0$, отже, кут є гострим.
• Якщо найбільший кут трикутника є гострим, то всі інші кути також гострі.

Перевіримо кути, протилежні найбільшим сторонам трикутника ($AB$ та $BC$):

1) Для кута $\angle C$ (протилежного до сторони $AB$):
$A{B}^2<A{C}^2+B{C}^2$
$5<2+5=7\text{ (нерівність правильна)}$
Отже, $\cos \angle C>0$, звідки $\angle C<90^{\circ }$.

2) Для кута $\angle A$ (протилежного до сторони $BC$):
$B{C}^2<A{C}^2+A{B}^2$
$5<2+5=7\text{ (нерівність правильна)}$
Отже, $\cos \angle A>0$, звідки $\angle A<90^{\circ }$.

3) Для кута $\angle B$ (протилежного до найменшої сторони $AC$):
$A{C}^2<A{B}^2+B{C}^2$
$2<5+5=10\text{ (нерівність правильна)}$
Отже, $\cos \angle B>0$, звідки $\angle B<90^{\circ }$.

Оскільки косинуси всіх кутів додатні, кожен із кутів $\angle A$, $\angle B$ та $\angle C$ є гострим.

Відповідь:
Доведено, що всі кути трикутника $ABC$ є гострими.