Завдання № 36. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Площа трикутника дорівнює $S$, а довжини двох його сторін — $a$ і $b$. Знайдіть площі трикутників, на які він ділиться бісектрисою кута між даними сторонами.

Покроковий розв’язок:

Нехай у трикутнику $ABC$ сторона $AB=a$, сторона $AC=b$, а площа всього трикутника $S_{△ABC}=S$. Відрізок $AK$ — бісектриса кута $A$, проведена до сторони $BC$. Вона поділяє трикутник $ABC$ на два трикутники: $△ABK$ (з площею $S_1$) та $△ACK$ (з площею $S_2$).

1. Зв’язок площ трикутників зі спільними висотами

Проведемо з вершини $A$ висоту $h$ до прямої $BC$. Ця висота є спільною для обох трикутників $△ABK$ та $△ACK$.

Обчислимо їхні площі за формулою площі трикутника:
$S_1=S_{△ABK}=\frac{1}{2}\cdot BK\cdot h$
$S_2=S_{△ACK}=\frac{1}{2}\cdot KC\cdot h$

Знайдемо відношення площ цих трикутників:
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}\cdot BK\cdot h}{\frac{1}{2}\cdot KC\cdot h}=\frac{BK}{KC}$

Отже, площі трикутників, які мають спільну висоту, відносяться як довжини їхніх основ.

2. Застосування властивості бісектриси трикутника

За теоремою про властивість бісектриси трикутника, бісектриса ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам:
$\frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC}=\frac{a}{b}$

Звідси отримуємо, що відношення площ також дорівнює:
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{a}{b}$

3. Знаходження площ $S_1$ та $S_2$

За аксіомою площ сума площ частин дорівнює площі всього трикутника:
$S_1+S_2=S$

Оскільки відношення площ дорівнює $\frac{a}{b}$, нехай площа однієї частини становить $k$. Тоді:
$S_1=a\cdot k,S_2=b\cdot k$

Підставимо у вираз для повної площі:
$a\cdot k+b\cdot k=S⟹k\cdot (a+b)=S⟹k=\frac{S}{a+b}$

Знаходимо шукані площі $S_1$ та $S_2$:
$S_1=\frac{a\cdot S}{a+b}$
$S_2=\frac{b\cdot S}{a+b}$

Відповідь:
$\frac{a\cdot S}{a+b}$ та $\frac{b\cdot S}{a+b}$