Завдання № 36. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторона основи правильної шестикутної піраміди дорівнює $4\text{ см}$, а бічне ребро — $5\text{ см}$. Знайдіть об’єм піраміди та площу її бічної поверхні.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження площі основи піраміди

Основою правильної шестикутної піраміди є правильний шестикутник зі стороною $a=4\text{ см}$.

Правильний шестикутник розбивається на $6$ рівних правильних трикутників зі стороною $a$. Тому його площа дорівнює:
$S_{\text{осн}}=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$

Підставимо значення сторони $a=4\text{ см}$:
$S_{\text{осн}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 4^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 16=24\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

2. Знаходження висоти піраміди

Основа висоти правильної піраміди проєктується в центр описаного навколо основи кола $O$.

Для правильного шестикутника радіус описаного кола дорівнює його стороні:
$R=a=4\text{ см}$

Розглянемо прямокутний трикутник, утворений висотою піраміди $H$, радіусом описаного кола $R$ та бічним ребром $l=5\text{ см}$. За теоремою Піфагора:
$H^2+R^2=l^2$
$H^2+4^2=5^2$
$H^2=25-16=9$
$H=3\text{ см}$

3. Обчислення об’єму піраміди

Об’єм піраміди обчислюється за формулою:
$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot H$

Підставимо знайдені значення:
$V=\frac{1}{3}\cdot 24\sqrt{3}\cdot 3=24\sqrt{3}{\text{ см}}^3$

4. Обчислення площі бічної поверхні

Бічна поверхня складається з $6$ рівних рівнобедрених трикутників з основою $a=4\text{ см}$ і бічними сторонами $l=5\text{ см}$.

Знайдемо апофему $h_a$ (висоту бічної грані, проведену до основи). Оскільки у рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, є також медіаною, вона ділить сторону $a$ навпіл:
$\frac{a}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ см}$

За теоремою Піфагора з прямокутного трикутника бічної грані:
$h_a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=l^2$
$h_a^2+2^2=5^2$
$h_a^2=25-4=21$
$h_a=\sqrt{21}\text{ см}$

Площа однієї бічної грані:
$S_{\text{гр}}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \sqrt{21}=2\sqrt{21}{\text{ см}}^2$

Площа всієї бічної поверхні:
$S_{\text{біч}}=6\cdot S_{\text{гр}}=6\cdot 2\sqrt{21}=12\sqrt{21}{\text{ см}}^2$

Відповідь:
$V=24\sqrt{3}{\text{ см}}^3$, $S_{\text{біч}}=12\sqrt{21}{\text{ см}}^2$.