Завдання № 36. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Складіть рівняння прямої, яку отримають у результаті повороту прямої $2x-y+1=0$ навколо початку координат на кут $90^{\circ }$:

1) за годинниковою стрілкою;

2) проти годинникової стрілки.

Покроковий розв’язок:

1. Вибір двох точок на початковій прямій
Пряма однозначно задається двома точками. Знайдемо координати точок перетину прямої $2x-y+1=0$ з осями координат:

• Якщо $y=0$, то $2x+1=0⟹2x=-1⟹x=-0,5$.
  Отримуємо точку $A(-0,5;0)$.
• Якщо $x=0$, то $2\cdot 0-y+1=0⟹y=1$.
  Отримуємо точку $B(0;1)$.

2. Поворот на $90^{\circ }$ за годинниковою стрілкою
При повороті площини навколо початку координат $O(0;0)$ на кут $90^{\circ }$ за годинниковою стрілкою довільна точка $(x;y)$ переходить у точку $(y;-x)$:

• Точка $A(-0,5;0)$ переходить у точку $A_1(0;-(-0,5))$, тобто $A_1(0;0,5)$.
• Точка $B(0;1)$ переходить у точку $B_1(1;-0)$, тобто $B_1(1;0)$.

Запишемо канонічне рівняння прямої, що проходить через дві точки $A_1(x_1;y_1)$ та $B_1(x_2;y_2)$ за формулою $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$:

Використовуючи основну властивість пропорції:

Помножимо обидві частини рівняння на $2$:

3. Поворот на $90^{\circ }$ проти годинникової стрілки
При повороті навколо початку координат $O(0;0)$ на кут $90^{\circ }$ проти годинникової стрілки довільна точка $(x;y)$ переходить у точку $(-y;x)$:

• Точка $A(-0,5;0)$ переходить у точку $A_2(-0;-0,5)$, тобто $A_2(0;-0,5)$.
• Точка $B(0;1)$ переходить у точку $B_2(-1;0)$.

Складемо рівняння прямої, що проходить через точки $A_2$ та $B_2$:

Використовуючи основну властивість пропорції:

Помножимо обидві частини рівняння на $2$:

Відповідь:

1) $x+2y-1=0$;

2) $x+2y+1=0$.