Завдання № 36. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть точку перетину серединного перпендикуляра до відрізка $AB$ з віссю ординат, якщо $A(-4;2)$, $B(0;-2)$.

Покроковий розв’язок:

Розв’язати задачу можна двома способами: через геометричну властивість серединного перпендикуляра або через рівняння прямої.

Спосіб 1 (через геометричну властивість серединного перпендикуляра)

1. Визначення координат шуканої точки
Шукана точка лежить на осі ординат (осі $Oy$), тому її абсциса дорівнює нулю. Позначимо її як $K(0;y)$.

2. Використання властивості точок серединного перпендикуляра
За означенням та властивістю серединного перпендикуляра, будь-яка його точка рівновіддалена від кінців відрізка. Отже:
$AK=BK⟹A{K}^2=B{K}^2$

3. Складання та розв’язання рівняння
Знайдемо квадрати відстаней за формулою відстані між двома точками:

Прирівняємо отримані вирази:

Отже, шукана точка має координати $(0;2)$.

Спосіб 2 (через рівняння прямої)

1. Координати середини відрізка
Нехай точка $M$ — середина відрізка $AB$. Її координати дорівнюють:
$x_M=\frac{-4+0}{2}=-2,y_M=\frac{2+(-2)}{2}=0⟹M(-2;0)$

2. Кутовий коефіцієнт прямої $AB$
$k_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-2-2}{0-(-4)}=\frac{-4}{4}=-1$

3. Кутовий коефіцієнт серединного перпендикуляра
Оскільки серединний перпендикуляр перпендикулярний до відрізка $AB$, добуток їхніх кутових коефіцієнтів дорівнює $-1$:
$k\cdot k_{AB}=-1⟹k=\frac{-1}{-1}=1$

4. Рівняння серединного перпендикуляра
Пряма проходить через точку $M(-2;0)$ з кутовим коефіцієнтом $k=1$:
$y-y_M=k\cdot (x-x_M)⟹y-0=1\cdot (x-(-2))⟹y=x+2$

5. Точка перетину з віссю ординат
Підставимо $x=0$ у рівняння прямої:
$y=0+2=2$

Отримуємо точку $(0;2)$.

Відповідь: $(0;2)$.