Завдання № 35. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Медіани $A M_{1}$ і $B M_{2}$ трикутника $A B C$ дорівнюють $9 см$ і $15 см$ відповідно, $M$ — точка перетину медіан, $∠ A M B = 12 0^{\circ}$ . Знайдіть довжину третьої медіани.

Покроковий розв’язок:

1. Властивість точки перетину медіан трикутника

Нехай $C M_{3}$ — третя медіана трикутника $A B C$ , проведена з вершини $C$ до сторони $A B$ .
За властивістю медіан трикутника, точка їхнього перетину $M$ ділить кожну медіану у відношенні $2 : 1$ , рахуючи від вершини.

Обчислимо довжини відрізків $A M$ та $B M$ :
$A M = \frac{2}{3} \cdot A M_{1} = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6 см$
$B M = \frac{2}{3} \cdot B M_{2} = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10 см$

2. Знаходження сторони $A B$ за теоремою косинусів

Розглянемо трикутник $A B M$ . У ньому відомі дві сторони $A M = 6 см$ , $B M = 10 см$ та кут між ними $∠ A M B = 12 0^{\circ}$ .
За теоремою косинусів:
$A B^{2} = A M^{2} + B M^{2} - 2 \cdot A M \cdot B M \cdot cos 12 0^{\circ}$

Оскільки $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2} = - 0, 5$ , маємо:

A B^{2} = 6^{2} + 1 0^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot (- 0, 5) = 36 + 100 + 60 = 196

$A B = 196 = 14 см$

3. Обчислення відрізка $M M_{3}$

Оскільки $M_{3}$ — середина відрізка $A B$ , відрізок $M M_{3}$ є медіаною трикутника $A B M$ , проведеною до сторони $A B$ .
За формулою довжини медіани трикутника (через довжини його сторін):
$M M_{3}^{2} = \frac{2 \cdot A M ^{2} + 2 \cdot B M ^{2} - A B ^{2}}{4}$

Підставимо відомі числові значення:

M M_{3}^{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 4 ^{2}}{4} = \frac{2 \cdot 36 + 2 \cdot 100 - 196}{4} = \frac{72 + 200 - 196}{4} = \frac{76}{4} = 19

$M M_{3} = 19 см$

4. Знаходження повної довжини медіани $C M_{3}$

Точка $M$ ділить медіану $C M_{3}$ у відношенні $C M : M M_{3} = 2 : 1$ , отже:
$C M_{3} = C M + M M_{3} = 2 \cdot M M_{3} + M M_{3} = 3 \cdot M M_{3}$
$C M_{3} = 319 см$

Відповідь:
$319 см$

Завдання № 35. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку