Завдання № 35. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть площу повної поверхні правильної чотирикутної піраміди, апофема якої дорівнює $8\text{ см}$, а бічне ребро — $10\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження сторони основи піраміди
Основою правильної чотирикутної піраміди є квадрат зі стороною $a$, а всі її бічні грані — рівні між собою рівнобедрені трикутники.

Розглянемо одну з бічних граней піраміди. Апофема є висотою цього рівнобедреного трикутника, проведеною до сторони основи, тому вона також є його медіаною і ділить сторону основи навпіл на відрізки завдовжки $\frac{a}{2}$.

Бічне ребро піраміди $b=10\text{ см}$, апофема $l=8\text{ см}$ та половина сторони основи $\frac{a}{2}$ утворюють прямокутний трикутник, у якому бічне ребро є гіпотенузою.

За теоремою Піфагора:

Підставимо відомі значення:

Звідси сторона основи піраміди дорівнює:

2. Обчислення площі основи піраміди
Оскільки основою піраміди є квадрат зі стороною $a=12\text{ см}$, його площа обчислюється за формулою:

3. Обчислення площі бічної поверхні піраміди
Площа бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди дорівнює сумі площ чотирьох рівних бічних граней:

Підставимо значення сторони основи та апофеми:

4. Обчислення площі повної поверхні піраміди
Площа повної поверхні піраміди складається з площі її основи та площі бічної поверхні:

Відповідь:
$336{\text{ см}}^2$