Завдання № 35. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть координати точки $C^{\prime }$, у яку перейде точка $C(2;0)$ при повороті навколо початку координат на кут $60^{\circ }$ проти годинникової стрілки.

Покроковий розв’язок:

1. Геометричні властивості повороту
При повороті навколо початку координат $O(0;0)$ відстань від центра повороту до точки зберігається, тобто довжина відрізка не змінюється:
$O{C}^{\prime }=OC$
Оскільки точка $C$ має координати $(2;0)$, довжина відрізка дорівнює:
$OC=\sqrt{(2-0{)}^2+(0-0{)}^2}=2$
Отже, $O{C}^{\prime }=2$.

2. Визначення координат точки за допомогою прямокутного трикутника
Точка $C(2;0)$ лежить на додатній півосі $Ox$. При повороті на кут $60^{\circ }$ проти годинникової стрілки промінь $O{C}^{\prime }$ утворює кут $60^{\circ }$ з додатною піввіссю $Ox$.

Опустимо перпендикуляр $C^{\prime }K$ із точки $C^{\prime }$ на вісь абсцис $Ox$. Отримаємо прямокутний трикутник $△OK{C}^{\prime }$ ($\angle OK{C}^{\prime }=90^{\circ }$), у якому:

• гіпотенуза $O{C}^{\prime }=2$;
• гострий кут $\angle C^{\prime }OK=60^{\circ }$.

За означеннями тригонометричних функцій гострого кута прямокутного трикутника:

• абсциса точки $C^{\prime }$ дорівнює довжині прилеглого катета $OK$:
  $x=OK=O{C}^{\prime }\cdot \cos 60^{\circ }=2\cdot \frac{1}{2}=1$
• ордината точки $C^{\prime }$ дорівнює довжині протилежного катета $K{C}^{\prime }$:
  $y=K{C}^{\prime }=O{C}^{\prime }\cdot \sin 60^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

Таким чином, шукана точка має координати $C^{\prime }(1;\sqrt{3})$.

Відповідь:
$C^{\prime }(1;\sqrt{3})$