Завдання № 35. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Щоб знайти висоту $CD$ стовпа лінії електропередачі, основа якого недоступна, виміряли відстань $AB=2\text{ м}$ та кути $\alpha$ і $\beta$: $\angle A=35^{\circ }$, $\angle CBD=60^{\circ }$. Знайдіть висоту стовпа $CD$ двома способами (знайшовши спочатку $BC$ або знайшовши спочатку $AC$).

Покроковий розв’язок:

Розглянемо трикутник $△ABC$.
Кут $\angle CBD$ є суміжним із кутом $\angle CBA$, отже:

Знайдемо третій кут $△ABC$ за теоремою про суму кутів трикутника:

Також можна помітити, що кут $\angle CBD=60^{\circ }$ є зовнішнім кутом трикутника $△ABC$ при вершині $B$, тому $\angle ACB=\angle CBD-\angle A=60^{\circ }-35^{\circ }=25^{\circ }$.

I спосіб (через відрізок $BC$):

1) За теоремою синусів для $△ABC$:

Звідси виразимо довжину сторони $BC$:

2) Із прямокутного трикутника $△BDC$ ($\angle BDC=90^{\circ }$) за означенням синуса гострого кута:

Підставимо отримані значення:

II спосіб (через відрізок $AC$):

1) За теоремою синусів для $△ABC$:

Звідси виразимо довжину сторони $AC$ (враховуючи, що $\sin 120^{\circ }=\sin (180^{\circ }-60^{\circ })=\sin 60^{\circ }$):

2) Із прямокутного трикутника $△ADC$ ($\angle ADC=90^{\circ }$) за означенням синуса гострого кута:

Підставимо значення:

Обидва способи дають однаковий результат для висоти стовпа: $CD\approx 2,3\text{ м}$.

Відповідь:
$CD\approx 2,3\text{ м}$